Полная версия

Главная arrow Логистика arrow ЛОГИСТИКА: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Принятие решений в условиях определенности.

/b>Наличие условий определенности означает, что управленческая задача (задача принятия решений) содержит только детерминированные и переменные параметры.

Рассмотрим следующий пример. Магазин должен заказать поставщику два разных взаимозаменяемых товара — № 1 и №2. По оценке, спрос на товар № 1 не превышает 80 тыс. руб., на товар №2 — 90 тыс. руб. Поставщик имеет возможность, в соответствии с мощностью предприятия, изготовить оба товара на сумму 150 тыс. руб. Рентабельность продажи товара № 1 в торговом предприятии составляет 2% от оборота, товара № 2 — 4% от оборота. Нужно определить сумму, на которую магазин должен заказать товары каждого вида, для того чтобы доход от их продажи был максимальным.

Введем следующие обозначения:

  • а) стоимость заказываемых товаров № 1 и № 2 — х: и х2 соответственно;
  • б) рентабельность товаров № 1 и № 2 — Cj = 0,02 и С2 = 0,04 соответственно.

Задачу максимизации прибыли магазина в математической форме можно представить следующим образом:

при условии

В этой задаче линейного программирования функция F(xp х2) называется целевой. Ее первая цель — заказ товара для удовлетворения спроса. Однако наряду с ней ставится и вторая цель — обеспечение качества достижения первой цели, для чего требуется максимизировать во второй операции возможную прибыль. Но поскольку добиться ее невозможно без достижения первой цели, то она и будет рассматриваться как единственная в этой задаче. Условия (2.2)—(2.5) являются ограничениями задачи, математическая формулировка которой точно соответствует ее содержанию, выраженному в словесной форме. Целевая функция и ограничения линейны относительно переменных и параметров, поэтому задача и относится к классу задач линейного программирования.

При наличии двух переменных (Xj и х2) решим задачу не общим методом, а на основе ее геометрического представления. Выберем систему координат на плоскости и проведем в этой системе линии, которые отражали бы требования ограничений. Для этого в нестрогих неравенствах, выражающих ограничения, выберем знак равенства, после чего получим хх = 80; х2 = 90; Xj + х2 = 150; х, = 0; х2 = 0.

Проведем на чертеже соответствующие линии (рис. 2.3). Каждая из них разбивает плоскость чертежа на две полуплоскости. В одной плоскости требования соответствующего ограничения выполняются, в другой — не выполняются. Например, выше линии АВ ограничение х2 = 90 не соблюдается, а ниже — соблюдается. Все совместно взятые ограничения соблюдаются внутри заштрихованного пятиугольника OABCD, который вычерчивается линиями ограничений на плоскости.

Р

Решение задачи на основе ее геометрического представления при наличии двух переменных

Рис. 2.3. Решение задачи на основе ее геометрического представления при наличии двух переменных

Содержательная интерпретация этого геометрического образа заключается в следующем: любая точка с координатами х1 и х2, находящаяся внутри или на сторонах упомянутого пятиугольника, представляет собой допустимое решение задачи, так как удовлетворяет всем ограничениям. Всякий заказ, выданный на хг и х2 для товаров № 1 и № 2 соответственно, где значения координат берутся для указанного множества точек, будет допустим с точки зрения соблюдения ограничений задачи. Подставив конкретные значения координат выбранной допустимой точки в выражение целевой функции, получим значение дохода (прибыли), который вправе ожидать после принятого решения о заказе. Допустим, выбрана точка Е с координатами Xj = 50 и х2 = 70. Для этой точки значение целевой функции будет F(xp х2) = 0,02 • 50 + 0,04 • 70 = 3,8 тыс. руб. Для точек g (40, 50) и Я (60, 80) значения целевых функций составят 2,8 тыс. и 4,4 тыс. руб. соответственно.

Значения целевой функции располагаются следующим образом:

Следует отметить, что расстояния точек от начала координат находятся в таком же соотношении:

Нужно найти не любое допустимое решение, а максимальное значение целевой функции и соответствующее решение.

Представим на чертеже целевую функцию. В соответствии с постановкой задачи она будет иметь следующий общий вид:

где а — величина, которую хотят максимизировать.

Получилось уравнение семейства прямых линий с параметром а. Угловой коэффициент этой прямой равен 0,5. На чертеже нанесено несколько прямых РР этого семейства.

Из вида целевой функции устанавливается, что она:

  • а) положительна;
  • б) возрастает вместе с увеличением х: и х2;
  • в) вклад от роста х, и х2 не одинаков, рост xt на 100 руб. приносит 2 руб. прибыли, ростх2 на ту же сумму — 4 руб.

На плоскости нужно найти такую точку (совокупность величин Xj и х2), которая удовлетворяла бы одновременно и ограничениям, и критерию максимизации целевой функции. Значение целевой функции возрастает при удалении от начала координат и убывает по мере приближения к нему. Чтобы получить желаемый результат, необходимо, видимо, найти такую точку, которая отстояла бы как можно дальше от начала координат, а также принадлежала бы многоугольнику ограничений и целевой функции. Для этого нужно перемещать линию целевой функции параллельно самой себе до тех пор, пока она не соприкоснется с многоугольником ограничений. Такое касание может произойти либо в одной точке многоугольника, либо в двух точках, и тогда линия целевой функции сольется с параллельной ей стороной многоугольника.

В нашем примере перенос линии целевой функции привел к соприкосновению линии РР с вершиной В многоугольника ограничений. Координаты точки В определяются решением системы уравнений х2 = 90 и ху + х2 = 150. Результат: х: = 60, х2 = 90. В точке с такими координатами целевая функция имеет значение

Оно является для функции максимальным. Значения переменных, обеспечивающие максимальное значение целевой функции (60, 90), и есть те суммы, на которые необходимо заказать товары № 1 и №2. При наличии более двух переменных задачу уже нельзя представить геометрическим образом на плоскости. В этих случаях используются более эффективные и методы решения.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>