Декомпозиция временных рядов

Использование временных рядов для прогнозирования предполагает инерционность процесса, т.е. факторы, влияющие на исследуемое явление в прошлом и настоящем, будут продолжать действовать схожим образом и не в очень далеком будущем. Поэтому основной целью анализа временных рядов выступает разложение уровней ряда на составные компоненты с целью учета их при прогнозировании, т.е. декомпозиция временньЬс рядов.

Фактическую величину уровня динамического ряда (Fr) можно представить как функцию трех компонент:

где Yt — фактический уровень ряда в период времени t; Г — тренд ряда (тенденция); S — периодические колебания (циклические, сезонные); Е — случайная составляющая.

Анализируя временной ряд, прежде всего, выявляют тенденцию (тренд ряда), определяющую основное направление развития явления за длительный период времени. Вместе с трендом могут иметь место регулярные периодические колебания, например циклические, длительностью в несколько лет — циклы деловой активности и др., а также сезонные, т.е. внутригодичные, проявляющиеся, например, в динамике цен на продукты питания, потреблении электроэнергии домохозяйствами и т.п. Эти колебания вызываются особенностями существования явления в одни периоды по сравнению с другими (например, сезонностью), что также должно быть учтено при прогнозировании.

Кроме того, имеются случайные колебания, связанные с действием разного рода второстепенных факторов, — случайная компонента.

Декомпозиция временного ряда — это выделение тенденции, циклических и случайных колебаний. Проведение декомпозиции позволяет понять структуру ряда, построить его модель и экстраполировать уровни ряда на краткосрочную перспективу. Рассматриваемые компоненты динамического ряда не обязательно имеются в каждом временном ряде. Могут быть ряды динамики, в которых отсутствует тенденция, или периодические колебания, или и то и другое. В этом случае уровни ряда являются функцией случайной компоненты, колебания их значений происходит вокруг среднего уровня, что характерно для стационарного ряда. Примером стационарного ряда могут служить следующие данные (табл. 5.9).

Таблица 5.9

Потребление сахара на душу населения в год в регионе

Год

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Кг/чел.

32

32

32

30

31

32

32

33

31

33

32

33

Модель стационарного ряда имеет вид

где У( — уровень динамического ряда; Y — средний за период времени уровень ряда; Et — случайная составляющая, определяемая как

Динамика многих социально-экономических показателей включает тенденцию и случайные колебания. Рассмотрим, например, среднегодовую численность занятых в гостиницах и ресторанах РФ за 2005— 2014 гг. (табл. 5.10).

Таблица 5.10

Среднегодовая численность занятых в гостиницах и ресторанах в РФ

Год

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Тыс. чел.

1017

1022

1094

1136

1139

1181

1218

1250

1267

1272

График (рис. 5.1) показывает четкую линейную тенденцию в виде плавной линии, а также наличие случайных колебаний (ломаная линия).

Динамика среднегодовой численности занятых в гостиницах и ресторанах РФ за 2005—2014 гг

Рис. 5.1. Динамика среднегодовой численности занятых в гостиницах и ресторанах РФ за 2005—2014 гг.

Модель такого ряда динамики имеет вид

где/(Т) — математическая функция, характеризующая закономерность развития явления во времени, т.е. описывающая тенденцию развития явления, тренд ряда; Е — случайные колебания.

При изучении динамики явления за продолжительный период времени уровни ряда могут обнаруживать регулярные колебания, повторяющиеся через равные промежутки времени, — спады или подъемы, т.е. периодические колебания.

На рис. 5.2 представлен динамический ряд без тенденции, но с периодическими и случайными колебаниями (на оси X — период времени; на оси Y — уровни ряда).

Пример ряда с двумя компонентами

Рис. 5.2. Пример ряда с двумя компонентами: Yt = f(S, Е)

При наличии повышающейся тенденции, а также периодических и случайных колебаний ряд динамики может быть представлен графиком (рис. 5.3).

Пример ряда с тремя компонентами

Рис. 5.3. Пример ряда с тремя компонентами: Yt = f[T, S, Е)

Например, продажи компании могут возрастать из года в год (наличие тренда, Т), но при этом они могут содержать и сезонную составляющую, S (например, 55% годовых продаж может приходиться на зиму и только 5% — на лето).

Простейшими моделями, в которых уровень временного ряда (У) включает трендовую, периодическую и случайную компоненты, являются аддитивная и мультипликативная модель.

Модель, в которой каждый уровень временного ряда представлен как сумма компонент, называется аддитивной:

Аддитивная модель применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всего промежутка времени.

Мультипликативная модель временного ряда означает, что каждый уровень временного ряда представлен как произведение трех факторов — тренда, периодической и случайной компонент:

Мультипликативная модель применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет изменяющуюся во времени амплитуду колебаний.

Примером аддитивной модели может служить динамика потребления электроэнергии жителями региона (млн кВт-ч) за четыре года с поквартальной разбивкой, представленная на графике (рис. 5.4).

Ряд демонстрирует наличие сезонности (S), тренда (Т) и случайной составляющей (Б). Поскольку высота волны не увеличивается (амплитуда колебаний постоянна), то потребление электроэнергии может быть представлено аддитивной моделью.

Аддитивная модель

Рис. 5.4. Аддитивная модель

По мультипликативной модели изменялись, например, поступления в консолидированный бюджет РФ по НДФЛ (млрд руб.) за 2004— 2011 гг. (рис. 5.5).

Мультипликативная модель

Рис. 5.5. Мультипликативная модель

Как видим, амплитуда колебаний доходов бюджета увеличивается вместе с тенденцией.

Графическое изображение временного ряда позволяет видеть наличие соответствующих компонентов ряда. Задача исследователя — изучить отдельные компоненты и учесть их при построении модели временного ряда в целях последующего прогнозирования.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >