Апробация метода количественного анализа происшествий на основе стохастической сети типа GERT

Разработанная выше сетевая модель, а также выражения входящих в нее функций и значения их параметров использованы при прогнозировании вероятности и времени до аварийного разгона турбины. Для определения пропускной способности W?(S) = WJ7(S) этой сети было проведено ее замыкание искусственной дугой WA(S) = W71(S), что привело к появлению в модифицированной таким образом модели еще одной (двенадцатой) петли первого порядка (12-23-36"-67-71).

Последующее включение в топологическое уравнение всех 12 петель при условии замены в нем MA.(S) на ИЛ. позволило получить следующее выражение:

После замены в этом уравнении проводимости ИЛ36, на (W34W46 + + W35W56), a W7l на (1/W]7) получено следующее выражение для коэффициента пропускания сети GERT, изображенной на рис. 7.8:

После подстановки в выражение (7.23) данных табл. 7.6 с учетом равенства W7 = Py.My.(S) получаем достаточно громоздкую формулу (желающие могут выписать данную формулу и проверить вычисления). Приравнивание в получаемой формуле параметра порядка S нулю и последующие вычисления позволили оценить искомую вероятность достижения стока 17 сети GERT:

Полученный только что результат был использован для определения производящей функции M17(S) = W17(S)/Q17 моментов, необходимой для последующего оценивания числовых характеристик распределения времени до достижения данного стока — путем последовательного взятия производных от этой функции и приравнивания их параметра S нулю.

Образующееся огромное число слагаемых функции M]7(S), полученной после раскрытия скобок правой части уравнения (7.23) и деления входящих в ее числитель проводимостей W7(S) на Q1?=0,00211, а также составной характер имеющихся в нем показателей экспоненты вызывают определенные трудности при попытке взять искомые производные с помощью программных пакетов «Maple» и «Wolphram- alpha» напрямую, т.е. без проведения предварительных преобразований M17(S).

Преодолеть сложившуюся трудность оказалось возможным после введения следующих обозначений в полученное указанным выше способом выражение для M17(S): и — числитель соответствующей дроби, v — ее знаменатель, Е = exp(aS + bS2) — функция переменного параметра S и независящих от него постоянных величин а и b. С учетом равенства exp(aS+bS2) = exp (as) exp (bs2) были получены следующие промежуточные результаты:

Последующее взятие первых du/dS, dv/dS и вторых d2E/dS2, d2u/dS2, d2v/dS2 производных от соответствующих вспомогательных функций, а также замена в их выражениях параметров а, b числами из табл. 7.6 и проведение необходимых расчетов позволили найти количественные значения не только этих функций и их производных при S=0, но также искомые здесь первый и второй моменты распределения времени до выхода турбины в режим разгона.

В условиях данного иллюстративного примера величина математического ожидания времени, требуемого для наступления события 7 сети GERT, оказалась равной

Дисперсия полученной оценки составила следующую величину:

Проанализируем только что полученные результаты. Оцененное с помощью сети GERT значение вероятности Q17~ 0,00211 разгона турбины типа К-300 в течение 7680 ч ее непрерывной работы не противоречит практическому опыту, так как за все время эксплуатации подобных турбин в нашей стране пока не было случаев их «разноса» из-за несвоевременного останова автоматом безопасности. Относительно редкие случаи ложного срабатывания системы автоматической защиты также не опровергают данный вывод.

Что касается только что рассчитанных числовых характеристик нормально распределенного времени до возможного разгона турбины, то результаты их модельной оценки нужно понимать следующим образом. Найденное здесь среднее время М(т) ~ 47370 ч соответствует (по определению) 50%-ной величине соответствующей доверительной вероятности и имеет стандартное отклонение at= +VD[x] = = Л1' 842 505 ~ 917 ч. Поэтому (согласно правилу трех сигм) можно утверждать, что для наступления исследуемого техногенного происшествия требуется непрерывная эксплуатация турбины, общая продолжительность которой принадлежит отрезку от 46 453 до 48 827 ч, тогда как ее остаточный ресурс Г может быть определен с помощью уравнения

Решение уравнения (7.24) для (1 - у)%-ного квантиля нормально распределенной случайной величины (найден по таблице из работы [14] при у = 0,9) дает следующий результат:

Это означает, что возникновение на тепловой электростанции моделируемых чрезвычайных ситуаций следует ожидать (с вероятностью у=0,9) не ранее, чем через 46 270 ч непрерывной работы после предыдущего технического обслуживания и ремонта турбин этого типа.

Таким образом, предложенная здесь иллюстративная GERT-модель подтвердила работоспособность соответствующего способа прогнозирования параметров, определяющих ресурс безопасной эксплуатации ОТУ. Наиболее целесообразной сферой применения данного метода нужно считать прогноз показателей безопасной эксплуатации тех резервированных сложных технических систем ОПО, элементы которых характеризуются примерно одинаковыми значениями их параметров значимости и критичности.

В завершение укажем, что есть другой способ решения подобных задач, требующих вычисления производных от функций M?(S), необходимых для прогнозирования вероятности и времени до наступления тех опасных событий, которые смоделированы с помощью сети GERT. Он пригоден для количественного анализа подобных параметров в тех случаях, когда невозможно автоматизированное дифференцирование производящих функций ME(S) из-за большого числа слагаемых, и все они имеют вид Al.(S) = exp(aS + bS2). Последнее означает, что время до появления исследуемых событий или расходуемый при этом иной ресурс являются нормально распределенными случайными величинами, что свойственно большому числу практически важных задач. Краткое описание технологии универсального алгоритма, позволяющего проводить дифференцирование громоздких функций этого типа, приведено в предпоследнем приложении Ж к этой книге.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >