Б Универсальный алгоритм количественного анализа производящих функций

Как показывает опыт моделирования с помощью сетей GERT, значительная трудность их количественного анализа связана с дифференцированием производящих функций M^(S) моментов S распределения учитываемого ресурса. Ее причина — большое число возникающих при этом слагаемых: оно пропорционально (с некоторым коэффициентом) произведению чисел слагаемых в числителе и в знаменателе первой и второй производных. Так как общее количество слагаемых, получаемых при дифференцировании этих функций, может составлять многие сотни, то решить данную задачу не всегда удается даже с помощью современных программных средств типа Wolfram-alpha.

Упомянутая выше трудность может быть преодолена при количественном анализе тех сетей GERT, дуги которых характеризуются производящими функциями Mi((S) = expfaS + bS2) нормально распределенного ресурса, имеющего стандартное отклонение а и дисперсию 2Ь. Продемонстрируем эту возможность с помощью универсального алгоритма1, существенно понижающего трудоемкость ручных вычислений производных от функций этого вида. Для придания большей наглядности сделаем это на примере сети, изображенной на рис. 7.8 и имеющей проводимость, заданную уже известной формулой:

Автором данного алгоритма являестя П. А. Макаров, давший согласие на его публикацию в настоящей книге.

имея в виду, что производящая функция связана с проводимостью соотношением М.(S) = W'y.(S)/Q^., где Q^. — вероятность реализации дуги у.

Используя в рассматриваемом примере обозначения W17(S) = =M17(S)Q17 и раскрыв все скобки числителя и знаменателя формулы (Б.1) с учетом соотношения ехр(а) х ехр(Ь) = ехр(а + Ь), получаем следующее общее выражение:

где индекс (ч) — означает числитель, а индекс (з) — знаменатель; постоянная у получается перемножением вероятностей Q^; а — суммированием коэффициентов при S, а (3 — при S2.

В частности, для проводимости, заданной формулой (Б.1), имеем:

Далее берем производную:

Подставляя в это выражение S = 0, получаем

Для взятия второй производной от Wj7 преобразуем сначала выражение числителя первой производной:

Тогда выражение для второй производной принимает следующий вид:

После сокращения подобных членов и приравнивания S = 0 получаем

Как это следует из анализа полученных соотношений, несмотря на их громоздкость, они не только пригодны для вычисления искомых параметров моделируемого процесса, но и представляются довольно универсальными. Непосредственное вычисление по формулам (Б.2) и (Б.З) легко осуществить, составив компьютерную программу на любом алгоритмическом языке программирования и задав исходные данные в соответствии с формулами для вычисления коэффициентов а, (3, у. Не исключены и ручные вычисления, так как полученные формулы для конкретных реализаций сети GERT могут быть приведены к более простому виду.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >