Полная версия

Главная arrow Инвестирование arrow ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основные понятия и определения

Нечеткое подмножество А универсального множества U характеризуется функцией принадлежности цл: U -» [0, 1], которая ставит в соответствие каждому элементу ueU число рл(п) из отрезка [0, 1], указывающее на степень принадлежности элемента к подмножеству А.

Обычные множества являются частными случаями нечетких— для них рл(и) = 1 (если ие А) или рл(и) = 0 (если и g А).

На основе определения функции принадлежности можно сформулировать определение расплывчатого (нечеткого) множества как класса объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят.

Пусть X = {х} — совокупность объектов (точек), обозначаемых через х. Тогда расплывчатое множество А в X есть совокупность упорядоченных пар

где цЛ(х) представляет собой степень принадлежности х к А, а рл : X -> М — функция, отображающая X в пространство М, называемое пространством принадлежности.

Таким образом, основное предположение состоит в том, что расплывчатое множество А, несмотря на нечеткость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому объекту х числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.

Если А и В являются обычными множествами, т.е. их функции принадлежности принимают только значения 0 и 1, то это определение приводит к обычным понятиям пересечения, объединения и отрицания множеств. Вместо одного понятия «пересечение» в теории нечетких множеств рассматриваются два — «пересечение» и «произведение», а вместо понятия «объединение» — также два: «объединение» и «сумма».

Некоторые из обычных свойств операций над множествами сохраняются и в теории нечетких множеств, другие же нет.

Сказанного достаточно, чтобы констатировать, что понятие нечеткого множества является нетривиальным обобщением понятия множества. Вместе с тем видны и некоторые недостатки рассматриваемого аппарата. Так, почти невозможно учитывать зависимость реалий, моделируемых нечеткими множествами, в качестве общей части можно использовать либо пересечение, либо произведение, в то время как видов зависимостей явно больше, чем два.

Также можно привести принцип обобщения для нечетких множеств. Пусть А — нечеткое подмножество U с функцией принадлежности рд(и), u&U. Пусть/— отображение из U в V. Тогда нечеткое подмножество ДА) универсального множества V определяется формулой:

Принцип обобщения позволяет рассматривать функции от нечетких переменных, в частности изучать устойчивость моделей в контексте детерминированного и стохастического подходов.

В силу неопределенности реальных явлений вместо исходных данных х имеем нечеткое подмножество х’ с функцией принадлежности рЛ..(у),уеХ. В соответствии с принципом обобщения решение представляется нечетким множеством/Сх1) в У. Можно ввести ряд показателей устойчивости. Так, потери характеризуются нечетким множеством р (fix), fix’))- Чтобы характеризовать потери одним числом, необходимо ввести в У множества уровня а:

где 0 < у < 1. В качестве показателя устойчивости можно использовать диаметр Ya при некотором а:

Пусть Р — вероятностная мера в Rn. Расплывчатое событие А в R" определяется как расплывчатое подмножество А пространства Rn, функция принадлежности которого рл, измерима. Вероятность события А задается интегралом следующего вида:

Иначе говоря, Р(А) = Ерл, где Е — оператор математического ожидания. В случае нормального нерасплывчатого множества данное выражение сводится к общепринятому определению вероятности случайного события.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>