Простейшая задача вариационного исчисления. Дифференциальное уравнение Эйлера

Рассмотрим задачу о минимуме функционала, имеющего следующее интегральное представление:

Частными случаями функционала такого вида будут, например, функционалы

в задаче о нахождении линии у = у(х) наискорейшего спуска материальной точки из точки М_х(0, 0) в точку М₂(х₂, Уч) под влиянием силы тяжести (Т — время спуска, минимум которого требуется определить);

в задаче о нахождении линии, соединяющей две точки плоскости М(х₉у) и М₂(х₂, Уч)у дуга которой при вращении вокруг оси Ох образует поверхность с наименьшей площадью S (требуется найти минимум S);

в задаче об определении формы твердого тела вращения, движущегося в потоке газа с наименьшей силой сопротивления F(необходимо найти минимум F), при у(0) = 0, у(х₂) = R, где р — плотность газа, v — скорость.

Рассмотрим задачу о минимуме функционала (1.1) с закрепленными граничными значениями для функции у = у(х). Пусть множество допустимых для рассмотрения функций удовлетворяет следующим требованиям:

• 1) у(х) имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь];
• 2) на концах отрезка функция у(х) принимает заданные значения

Рассмотрим семейство функции у(х), зависящее от некоторого численного параметра а:

Для того чтобы у(х) при любом а была допустимой функцией, необходимо считать, что ц(л:) также имеет непрерывную производную и обращается в нуль на концах отрезка [а, Ь]:

242

Интеграл (4.1), вычисленный для функции у(х), будет некоторой функцией параметра а:

Пусть теперь у = у(х) есть функция, доставляющая минимум функционалу (4.1). Поскольку у(х) дает интегралу (4.7) минимальное значение, функция Ф(а) должна иметь минимум при а = 0.

Таким образом, задача о минимуме функционала 1(у) сведена, по сути дела, к известной уже нам задаче о минимуме функции Ф(а) при а = 0.

Тогда производная от Ф(а) по а в точке а = 0 должна, как известно, обращаться в нуль:

Второй член правой части уравнения (4.8) преобразуется интегрированием по частям:

поскольку

Подставляя (4.9) в (4.8), получаем уравнение

В курсах вариационного анализа доказывается следующая основная лемма вариационного исчисления. Если для каждой непрерывной функции г|(.г) интеграл

где функция /(.г) непрерывна на отрезке [а, 6], то на этом же отрезке.

Применяя эту лемму к (4.10), получаем соотношение Так как

243

то соотношение (4.11) примет вид

»

Это последнее соотношение, так же как и (4.11), является дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции у. Оно называется дифференциальным уравнением Эйлера.

Таким образом, если функция у(х) доставляет минимум интегралу /(г/), то она должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера (4.12).

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка (4.12) имеет, как известно, вид

где постоянные С и С₂ находятся из условий

так как интегральная кривая должна проходить через точки у(а) = у_х и

y(b) = у₂.

Найденная таким образом функция у(х) и будет той функцией, которая доставляет минимум функционалу (4.1).