Философия логики: плюрализм неклассических логик

Переходим к анализу своеобразия формальных отраслей науки: логики и математики. Они отличаются от естественных отраслей науки, поскольку оперируют не дескрипциями, а формами (морфами) (см. параграф 1.9).

Логика (от др.-греч. logos — слово, рассуждение) состоит из отдельных групп наук. Это, в частности, логика предикатов, высказываний, вопросов, отношений, а также символическая, традиционная, модальная, многозначная, паранепротиворечивая, интуиционистская, конструктивная, модальная, интенсиональная, деонтическая, нечеткая и релевантная логика. По мнению А. Тарского, логика является «названием дисциплины, которая анализирует смысл понятий, общих для всех наук, и устанавливает общие законы, управляющие ими»1. Любая логическая теория, во-первых, формальна, во-вторых, реализует некоторый тип логического следования.

Формальная теория представлена: 1) алфавитом символов и составленных из них выражений; 2) аксиомами (концептами, исходными в логической дедукции); 3) формулами (связями между переменными и константами); 4) правилами вывода, фиксирующими связь между аксиомами и формулами, а также между формулами[1] [2]. Формула представляет собой теорему, если она является конечным звеном логического вывода. В случае если не задаются либо аксиомы, либо правила вывода, формальная система является вырожденной. Важнейшие критерии формальной системы — непротиворечивость, полнота, независимость аксиом, разрешимость, категоричность. Ни один из этих критериев не является абсолютным. Значение каждого из них интерпретируется посредством анализа содержания формальной системы.

Теория непротиворечива, если в ней не выводимо противоречие, т.е. А и не-А.

Теория считается полной, если она представляет собой непротиворечивое множество высказываний, и никакое ее расширение не является непротиворечивым.

Независимость аксиом имеет место в случае, если ни одна из них не выводима из других аксиом в соответствии с правилами вывода, принятыми в данной теории.

Система аксиом называется категоричной, если она однозначно определяет только одну систему объектов с точностью до изоморфизма, т.е. если все интерпретации, или модели, этой системы изоморфны друг другу.

Теорема считается в рамках данной теории разрешимой, если существует доказательство ее истинности.

Правомерность использования критериев логической теории не должна приниматься на веру, она непременно нуждается в обосновании. Априорно введенные критерии формальной теории, как правило, уточняются и дополняются новыми концептами.

Логика является не содержательной, а формальной наукой. Это означает, что в ее рамках находят свое выражение не все черты действительности, а лишь некоторые из них. Если используется моделирование, при котором логика выступает в качестве науки-донора, то она «поедается» наукой-акцептором. Только в случае если она рассматривается сама по себе отчетливо дает о себе знать ее специфика. При этом наряду с такими концептами, как аксиомы, формулы, теоремы и переменные, решающее значение приобретает концепт следования. Разумеется, речь идет в данном случае о логическом следовании, а именно о переходе от предпосылок к заключениям1. Естественно, возникает вопрос о правомерности такого перехода и определении его валидности (обоснованности). Правомерность логического следования проистекает из многовекового опыта человечества. Невозможно представить себе логику без характерного для ее концептов следования. Связи между концептами нуждаются в выражении, а для этого необходимы логические переходы. Альтернативы им не видно. Более вариабельной выглядит ситуация с валидностью логического следования. Все тот же научный опыт показывает, что логическое следование может быть сопряжено с логическими ошибками, чего следует избегать.

В XX в. были созданы многочисленные логические теории, кардинально отличные от классической логики, которая обычно связывается с именами Аристотеля и Г. Фреге. Аристотель стоял у ее истоков, а Фреге придал ей образцовое воплощение. Под классической логикой понимается совокупность логических теорий, удовлетворяющих пяти требованиям: 1) закону исключенного третьего; 2) закону непротиворечивости; 3) монотонности логического следования; 4) коммутативности конъюнкций (члены конъюнкции могут меняться местами, при этом истинностное ее значение остается неизменным); 5) законам де Моргана (пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания связываются в соответствии с правилами де Моргана)[3] [4]. Если одно или несколько из указанных выше

требований нарушаются, то налицо неклассическая логика, примерами которой являются, интуиционистская, многозначная и паранепротиворе- чивая логика.

Для всех изобретателей неклассических логик характерна общая черта: они отказываются от тех или иных идеалов логической классики. У истоков неклассических логик стоят фигуры грех исполинов: голландца Л. Брауэра, русского Н. Васильева, поляка Я. Лукасевича. Поистине революционные логические идеи были сформулированы ими в 1907—1910 гг. Брауэр, Васильев и Лукасевич — основатели соответственно интуиционистской, паранепротиворечивой и многозначной логики. Брауэр и Лукасевич отказались от закона исключенного третьего, Васильев — от классической интерпретации закона непротиворечивости. Справедливости ради отметим, что из трех авторов лишь Лукассвичу, который в 1920 г. создал вариант аксиоматизированной трехзначной логики, удалось довести свои творческие идеи до рафинированной логической формы. Система аксиом для интуиционистской логики была изобретена А. Гейтингом в 1930 г. Развитые параненротиворечивые логики стали появляться лишь после 1948 г. (работы С. Яськовского, II. да Коста и др.). Они особенно актуальны для истории развития неклассических логик.

Со времен Аристотеля основным принципом логики считался принцип непротиворечивости. Именно он существенно модифицируется в воображаемой логике Н. А. Васильева1. В наранспротиворечивых логиках терпимость к логическим противоречиям связывается с продуктивностью такого отношения логического следования, которое не является чрезмерным, т.е. для любых формул А и В, из А и не-А не следует произвольная формула В[5] [6]. В логической системе не выводится «все, что угодно», она не должна быть тривиальной. В классической логике справедливо отвергались противоречивые тривиальные системы, но необоснованно отрицались нетривиальные теории. Иначе говоря, принцип непротиворечивости должен учитывать условия нетривиальное™. Логический хаос отвергается не только в классической, но и в паранепротиворечивой логике. На наш взгляд, развитие паранепротиворечивых логик выявило необходимость позиционирования принципа недопустимости противоречий. Этот принцип относится к сфере методологии логики. Он допускает определенные противоречия в составе логики, но лишь такие, допустимость которых оговорена со всей возможной логической строгостью.

Одно из несомненных достоинств паранепротиворечивых логик состоит в представляемой ими возможности учесть динамику знания. Как известно, рост научного знания осуществляется как эстафета теорий, не лишенных противоречий. В классической логике эти теории считаются ложными и на этом основании выталкиваются за пределы науки. В наранепротиворе- чивых логиках открывается путь формализованного описания нетривиальных теорий. Разумеется, при этом не отвергается необходимость сравнения достоинств различных теорий. Такое сравнение и обоснование принимаемых предпочтений — прерогатива логической методологии. Смысл пара- непротиворечивых логик состоит в осознании подлинного места противоречий в логической теории.

Что касается логических метатеорем, то их содержание в свете паране- противоречивых логик должно пересматриваться. Так, можно показать, что все истинные теоремы доказуемы. Как известно, это положение отвергается в теоремах о неполноте Тарского и Гёделя.

Важным классом паранепротиворечивых логик являются релевантные (от англ, relevant — уместный) логики. Под релевантностью обычно понимают смысловое (интенсиональное) соответствие между высказываниями логического следования. В классической логике это соответствие никак не учитывалось.

Как ни удивительно, логики, неустанно преумножая число неклассических логик, относились к классической логике довольно терпимо, не ставя кардинально вопрос о необходимости выбора либо логического монизма, согласно которому истинна одна логика, а именно классическая, либо логического плюрализма с его тезисом о наличии многих истинных логик. Лишь в начале XXI в. появились исследователи, которые решительно встали на позиции логического плюрализма. Эта тенденция кульминировала в монографии Дж. Виола и Г. Рестола1. Позиции логического монизма также нашли своих защитников[7] [8].

В обзорной статье Г. Рассела рассматриваются пути обоснования логического плюрализма[9], при этом он вслед за Биолом и Рестолом придает первостепенное значение плюралистическому истолкованию логического следования. Согласно тезису общезначимости Тарского аргумент х состоятелен лишь тогда, когда в случае х из истинных посылок следуют истинные заключения. Логические плюралисты не отрицают этот тезис, полагая, однако, что он получает различные истолкования в соответствии с пониманием «случая х». Речь может идти и о различных ситуациях, и о различных используемых методах их интерпретации. Многозначность концепта «случай х» приводит к многозначности типов и видов логического следования как наиболее существенного признака любой логической теории. Таково основание наиболее распространенной среди логиков разновидности логического плюрализма. В соответствии с ней в пользу этого плюрализма могут быть предложены различные аргументы[10].

Во-первых, это аргумент о появлении некоторой логической теории как корректной во всех отношениях. Само появление теории свидетельствует в ее пользу, нет никаких оснований отвергать ее. Во-вторых, появление новой теории приемлемо с моральных позиций. Как в свое время отмечал Р. Карнап, логики должны быть толерантны к новым теориям, но и кри-

тичны, удостоверяясь в их актуальности. В-третьих, следует не абсолютизировать концепт «во всех случаях». В действительности логическая теория может соотноситься лишь с некоторыми случаями из более обширной совокупности. В-четвертых, возможен ответ, связанный с многозначностью смыслов. В-пятых, аргумент о необходимости выбора наилучшего логического следования. Такой выбор оказывается возможным лишь в случае наличия хотя бы нескольких теорий.

На наш взгляд, логический плюрализм состоялся, все аргументы, выдвигаемые против него, опровергаются достаточно легко. Он состоялся, поскольку, по сути, является констатацией наличия разнообразных логик, не сводимых друг другу. Они прошли огонь проверки не только непосредственно в логике, но и в тех многочисленных интердисциплинарных отношениях, одной стороной которых являются логические теории.

Подведем некоторые итоги. Начало логической науки по праву связывают с Аристотелем. Он сумел эффективно распорядиться принципами тождества, недопущения противоречий и исключенного третьего1. В течение 22 веков, вплоть до середины XIX в., логика Аристотеля представляла собой непревзойденный образец. Именно поэтому ей и присвоили пышный титул научной логики. Но, разумеется, она не была лишена недостатков. Б. Рассел указывал на три основных недостатка логики Аристотеля: некритическое применение субъект-предикатной формы описания к универсальным высказываниям, переоценка силлогизмов по сравнению с другими формами логического доказательства, абсолютизация дедукции и, соответственно, недооценка индукции[11] [12].

Подлинной революцией в логике стало создание логики предикатов формальной теории языковых выражений с учетом их субъектно-предикатной структуры. Свойства и отношения понимаются соответственно как одноместные и ^-местные предикаты субъектов (предметов). По предложению Г. Фреге языковые выражения интерпретируются посредством кванторов и пропозициональных функций. Логика предикатов кардинально отличается от логики высказываний, абстрагирующейся от структуры предложений. В логике первого порядка рассматриваются предикаты, в логике второго порядка — предикаты предикатов, в логике третьего порядка — предикаты предикатов предикатов и т.д. Развитие логики предикатов первого порядка имело для всей логики предикатов основополагающее значение. Создание логики предикатов особенно тесно связано с именами Г. Фреге, Ч. С. Пирса, Б. Рассела, Д. Гильберта, Т. Сколема, К. Гёделя, А. Тарского. Первоначально в их работах логика первого порядка рассматривалась совместно с логикой второго порядка. Лишь в 1928 г. Д. Гильберт и В. Аккерман представили логику предикатов первого порядка как самостоятельную логическую систему1. На ее примере ученые постигали все новые концептуальные глубины логики предикатов. Логика предикатов первого порядка обладает рядом привлекательных черт, актуальных для дела формализации любой науки. Доказана ее непротиворечивость, полнота и компактность.

В последующем логические революции случались неожиданно часто. Подлинными революциями, в частности, стало создание интуиционистской, многозначной, паранеиротиворечивой, модальной, интенсиональной, релевантной и нечеткой логики. Плюралистические тенденции стали пронизывать все составляющие логики, в частности ее аксиоматические части, равно как не только способы, но и типы доказательств. В последнем случае речь идет о способах доказательства, обладающих сходными признаками[13] [14]. Таких типов доказательств достаточно много.

Плюрализм логики не стал отрицанием ее единства. Дело в том, что между логическими системами существуют переходы, в частности предельные, объединяющие их в единое целое. Разумеется, предельные переходы не должны истолковываться излишне прямолинейно, т.е. без учета принципиальных концептуальных отличий более развитых теорий от менее развитых концепций. В логике такого рода соотношения характерны для многих теорий. Если две теории связаны друг с другом предельным переходом, то менее развитая из них, будучи интерпретированной с позиций более развитой концепции, становится ее символом. Так, традиционная логика является символом логики предикатов первого порядка (предельный переход состоит в переходе от многоместных к одноместным предикатам), многозначная логика — символом вероятностной логики (совершается переход от непрерывных истинностных значений к декретным), классическая непротиворечивая логика — символом паранеиротиворечивой логики (совершается переход к чрезмерному логическому следованию). Все поле логики предстает как многочисленные проблемные метаморфозы, одним из проявлений которых являются предельные переходы. Интерпретационные ряды логических теорий выражают единство логики как отрасли науки.

Развитие логики во многом стимулировалось ее интердисцинлинар- ными связями. По сути, выяснилось, что в логическом смысле могут быть формализованы все этапы интратеоретической трансдукции, а именно дедукция, аддукция, индукция, абдукция. На наш взгляд, то же самое относится и к этапам интертеоретической трансдукции. Впрочем, пока ее проблематика изучена средствами логики явно недостаточно.

Можно показать, что всякая наука нуждается в логических теориях, но не в любых, а в таких, которые выступают в качестве символа акцепторной теории. Так, квантовая механика органично сочетается не с двухзначной, а с трехзначной логикой. К сожалению, в современной науке логическое моделирование используется пока еще недостаточно энергично. Тем

не менее постепенно выясняется, что представителям любой науки необходимо осваиваться в поле логического плюрализма, избирая те логические системы, которые наиболее эффективно могут быть использованы в интересах той или иной акцепторной дисциплины.

Выводы

  • 1. Логика — формальная отрасль науки. Во всех логических теориях учитываются лишь формальные черты нелогических концепций. Все остальное остается вне рассмотрения. Важнейшими критериями логической теории являются непротиворечивость, полнота, независимость аксиом, разрешимость, категоричность.
  • 2. Логические теории взаимосвязаны друг с другом. Классические теории получают свое объяснение с позиций неклассических концепций. В современной логике возобладал плюрализм.
  • 3. Любая нелогическая дисциплина нуждается во вполне определенных логических теориях. Учет их достижений способствует развитию указанной дисциплины.

  • [1] Tarski A. Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences. Mincola,N. Y.: Dover Publications, 1994. P. 11.
  • [2] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
  • [3] Сидоренко Е. Л. Логическое следование и условные высказывания. М.: Наука, 1983.
  • [4] Shapiro S. Classical Logic // Zalta E. N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy.URL: http://plato.stanford.edu/archives/win2009/entries/logic-classical/
  • [5] Бажанов В. А. Геракл в колыбели: значение логических идей Н. А. Васильева для современной логики // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. М.; Обнинск : ИФ РАН, 1987. Ч. 2. С. 261—273 ; Карпенко А. С. Паранепротиворечи-вая логика // Новая философская энциклопедия : в 4 т. М.: Мысль, 2001. Т. 3. С. 198—199.
  • [6] Карпенко А. С. Паранепротиворечивая логика. С. 198.
  • [7] BeallJ., Restall G. Logical Pluralism. Oxford : Oxford University Press, 2006.
  • [8] Priest G. Doubt Truth to be a Liar. Oxford : Oxford University Press, 2006.
  • [9] Russell G. Logical Pluralism // Zalta E. N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy.URL: http://plato.stanford.edu/archives/sum2013/entries/logical-pluralism/
  • [10] Russell G. Logical Pluralism.
  • [11] Аристотель. Первая аналитика // Его же. Сом.: в 4 т. М.: Мысль, 1978. Т. 2. С. 100, 280.
  • [12] Рассел В. История западной философии : в 2 т. Новосибирск : Изд-во Новосибир. ун-та,1994. Т. 1. С. 197—198. Не следует отождествлять индукцию в составе содержательных науки индукцию в логике. В содержательных науках индукция возможна лишь благодаря эксперименту. В логике нет эксперимента. Поэтому в ней индукция является не больше чемразновидностью логического доказательства. С позиций интратеоретической траисдукциилюбое доказательство относится к дедукции.
  • [13] Гильберт Л., Аккерман В. Основы теоретической логики. М. : Гос. изд-во иностр. лит.,1947.
  • [14] Plato J. von. The Development of Proof Theory // Zalta E. N. (ed.). The StanfordEncyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/proof-theory-development/
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >