Философия математики: формализм, интуиционизм, конструктивизм

В философии математики основное внимание уделяется интерпретации природы математики. В этой связи развиты различные метаматематические направления. Нам придется к ним обратиться, и начнем мы с самого влиятельного направления, а именно с формализма.

Формализм

Формальная теория оперирует аксиомами, теоремами, правилами вывода, которые позволяют переходить от аксиом к теоремам. Для представления аксиом, правил вывода и теорем необходим алфавит, содержащий некоторые термины. Например, в теореме Пифагора о соотношении сторон прямоугольного треугольника используются термины «прямоугольник», «гипотенуза», «катет». Формальная теория имеет дело с формами (см. параграф 1.9). Нечто, например естественная или аксиологическая теория, формализовано, если оно представлено посредством форм.

Развитие теории множеств К. Кантором и другими выдающимися математиками привело к обнаружению двух десятков парадоксов, из которых наиболее известным является парадокс Рассела (1901). Пусть К есть множество всех множеств, которое не содержит себя в качестве своего элемента. К должно содержать себя, ибо оно является множеством, не содержащим себя. Но это противоречит исходному определению. Получается противоречие. Обнаружение парадоксов теории множеств, которую считали основанием других математических теорий, поставило под сомнение истинность всего здания математики.

В этой связи Д. Гильберт в начале 1920-х гг. разработал программу, которая была призвана возвратить математике славу науки, имеющей дело с неоспоримыми истинами. Речь шла о программе, которая содержала три ключевых положения: 1) математика должна быть аксиоматизирована; 2) следует показать полноту и непротиворечивость системы аксиом

ограниченными финитными (т.е. состоящими из конечного числа ходов) методами; 3) необходимо показать, что математические новации не нарушают стройность математики, фундаментом которой является арифметика Пеаио. Программа Гильберта была с одобрением воспринята многими выдающимися математиками, которые принялись за ее исполнение. Но уже в 1931 г. после доказательства К. Гёделем двух теорем выяснилось, что она не столь очевидна, как это представлялось.

Согласно теореме Гёделя о неполноте если формальная арифметика непротиворечива, то в ней найдется формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула Л, что ни Л, ни не-А не могут быть выведены из аксиом системы. Теорема Гёделя о неполноте относится ко всем формальным системам, включающим в себя аксиомы арифметики. В этих системах в качестве Л можно взять формулу, которая выражает непротиворечивость формальной арифметики. В таком случае из теоремы о неполноте следует вторая теорема Гёделя, или теорема о непротиворечивости: не существует доказательства непротиворечивости формальной арифметики средствами той формальной системы, которая ее содержит.

Теоремы Гёделя первоначально были восприняты как доказательство несостоятельности программы формализма. Но, как выяснилось, это впечатление оказалось излишне грубым1.

В 1936 г. ученик Гильберта Г. Гентцен доказал непротиворечивость арифметики, но в этой связи обычный принцип математической индукции был обобщен до трансфинитного числа со0. В 1933 г. Гёдель показал, что классическую арифметику можно интерпретировать в интуиционистской арифметике. Невозможно формализовать всю математику, но это положение не является препятствием для формализации отдельных ее частей. Можно указать в этой связи, что теория множеств, основанная на аксиомах Цермело — Френкеля, плюс логика первого порядка позволяет формализовать многие разделы математики. Что же касается самой логики первого порядка, то ее полнота и непротиворечивость была доказана все тем же Гёделем. Японскому математику Г. Такеути удалось доказать полноту некоторых частей второпорядковой логики и арифметики[1] [2]. Интересное преломление получила программа Гильберта в исследованиях Г. Крайзеля, С. Фефермана и С. Симпсона[3]. Эти ученые стремятся, во-первых, выявить те разделы математики, которые могут быть успешно формализуемы. Во-вторых, они сводят пока еще не формализованные математические теории или их части к уже формализованным.

Таким образом, формализм был существенно модернизирован. Желательно, чтобы система аксиом была полной и непротиворечивой, но если это условие не выполняется, то математическое знание не отбрасывается. Оно шаг за шагом продолжает совершенствоваться. Формалисты не были одиноки в своем стремлении справиться с математическими парадоксами. Их оппонентами оказались прежде всего представители еще одного метаматематического направления, а именно интуиционизма.

  • [1] Zach R. Hilbert’s Program // Zalta E. N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy.URL: http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/ ; Непейвода H. H. Формализм //Новая философская энциклопедия. Т. 4. С. 267—269.
  • [2] Такеути Г. Теория доказательств. М. : Мир, 1978 ; Takeuti G. Proof Theory: Studies inLogic and the Foundations of Mathematics. Amsterdam : North-Holland, 1987. Vol. 81.
  • [3] Kreisel G. Hilbert’s Program // Benacerraf P., Putnam H. (eds). Philosophy of Mathematics.Cambridge : Cambridge University Press, 1983. P. 207—238 ; Feferman S. In the Light of Logic.Oxford : Oxford University Press, 1998. P. 284—298 ; Simpson S. G. Partial Realizations ofHilbert’s Program //Journal of Symbolic Logic. 1988. Vol. 53. № 2. P. 349—363.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >