Полная версия

Главная arrow Техника arrow ДИНАМИКА МАШИН. КОЛЕБАНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Свободные колебания системы с одной степенью свободы

При свободных колебаниях внешнее возмущение отсутствует, поэтому на основании (3.7) для системы с одной степенью свободы имеем

или

где к = yjcn/an - круговая частота свободных колебаний, или собственная частота.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (4.2) имеет вид

где CVC2- произвольные постоянные, для определения которых следует задать начальные условия: при t = 0 g, = q]0 и

Я=Ян >•

Подставляя начальные условия в зависимости q} и qv получаем С, = q[0; C2 = qx0/k. Таким образом,

Приведем еще одну форму решения (4.4), для чего воспользуемся подстановкой <710 = ,4sina и q]n/k = Acosa:

где Л - амплитуда свободных колебаний; kt + а- фаза колебаний; a - начальная фаза.

График Т= 2тт/к. Принимая во внимание, что

амплитуду колебаний и начальную фазу легко определить на основании известных начальных условий.

Как будет показано в дальнейшем, собственная частота является важнейшей характеристикой колебательного процесса, предопределяющей виброактивность машины. Согласно (4.2), для расчета собственной частоты необходимо знать инерционный и квазиупругий коэффициенты.

Рис. 4.1

Рассмотрим несколько простейших моделей (рис. 4.2).

Для тела массой т, установленного на упругом элементе (рис. 4.2, а), имеем следующее выражение для кинетической и потенциальной энергии:

Т = 0y5mq* и У = 0,5cq. Следовательно, соответствующие коэффициенты в квадратичных формах равны ап = m и си = с. Отсюда

В инженерных расчетах иногда удобно представить коэффициент жесткости как с = mg/А, где Л - осадка, т. е. статическая деформация под действием собственного веса. Тогда

Может возникнуть вопрос, почему в выражении для потенциальной энергии был опущен член, отвечающий силе тяготс-

Рис. 4.2

ни я. Покажем, что, если принять за начало отсчета обобщенной координаты положение статического равновесия 0-0, это справедливо. Действительно, при этом

Принимая во внимание, что в положении статического равновесия mg = сА , получаем V = 0,5cq'{. Однако такое упрощение в процедуре записи потенциальной энергии возможно лишь в том случае, если в положении равновесия вес уравновешивается восстанавливающей силой упругого элемента. Если это не так, как, например, для модели, показанной на рис. 3.2, силы тяготения должны быть учтены в выражении для потенциальной энергии.

Для модели, отображающей крутильные колебания вала с диском (рис. 4.2,6), аналогичным образом получаем ап =У, с,, = с, а следовательно:

Для маятника (рис. 4.2, в) Т= 0,5/иа2; V = mgh. Учитывая, что h = I (1 - cos ф), v = /ф и, приняв в качестве обобщенной координаты q{ = ф, имеем

Отсюда ап = ml2, сп = mgl, а следовательно:

Для электрического колебательного контура, согласно уравнению (3.22), имеем ап = L, сп = С~следовательно, при отсутствии омического сопротивления (R = 0) имеем

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>