Влияние линейной силы сопротивления на свободные колебания

Пусть на систему действует неконсервативная сила, равная силе сопротивления, пропорциональной первой степени скорости Q = -bq. (Здесь и ниже индекс 1 при обобщенной координате и коэффициентах будет опущен). Тогда

или после деления на инерционный коэффициент а где b/а = Ъг с/а = к2.

Решение дифференциального уравнения (4.11) имеет вид

где е = 2,71828 - основание натурального логарифма;

Л0, а - начальная амплитуда и начальная фаза, определяемые начальными условиями (см. параграф 4.1).

Таким образом, частота свободных колебаний теперь, строго говоря, зависит от характеристики силы сопротивления:

где 8 = п/k - коэффициент демпфирования (доля критического демпфирования), который для приводов и механизмов обычно лежит на интервале 0,025 < 8 < 0,07, редко превышая значение 0,1. При этом оказывается, что в механических колебательных системах при отсутствии специальных демпфирующих устройств кх ~ к. Это означает, что при инженерном расчете собственной частоты и периода свободных колебаний влиянием линейной силы сопротивления можно пренебречь (Г, = 2тсД, ~ 2п/к).

Решению (4.12) отвечает затухающий колебательный процесс (рис. 4.3). Интенсивность затухания характеризуется декрементом колебаний и логарифмическим декрементом колебаний. Декрементом колебаний D называют отношение двух смежных амплитуд, разделенных одним периодом. Таким образом, согласно (4.12)

Поскольку декремент колебаний не зависит от амплитуды, можно утверждать, что уменьшение амплитуд происходит по бесконечно убывающей прогрессии, знаменатель которой равен декременту колебаний D.

Рис. 4.3

Логарифмическим декрементом называют взятый по абсолютной величине натуральный логарифм от декремента колебаний:

Введенный в параграфе 2.3 коэффициент рассеяния у, характеризующий относительные энергетические потери, затрачиваемые на преодоление сил сопротивления, связан с параметром X следующим образом:

При малых значениях X (X < 0,15) можно принять е"«1 - 2Х; при этом / ~ 2Х.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >