Влияние постоянной силы сопротивления на свободные колебания

В первом приближении можно считать, что постоянная сила сопротивления возникает при сухом трении, подчиняющемся закону Кулона, - так называемом «кулоновом» трении, при котором сила трения определяется как F = -fN sign cj. Здесь/ - коэффициент трения; N - сила нормального давления; символ sign означает «знак» (sign q = 1 при q > 0 и sign q = -1 при q< 0).

Строго говоря, при действии кулонова трения система сохраняет линейные свойства только на определенных временных отрезках, в пределах которых скорость q не меняет своего знака. Такие системы, называемые кусочно-линейными, по своим динамическим проявлениям относят к нелинейным системам (подробнее см. гл. 8).

Итак, в рассматриваемом случае математической моделью служат дифференциальные уравнения:

Решения уравнений (4.17), (4.18) имеют вид:

Задаваясь начальными условиями q = q0, q = q0, найдем на основании (4.19) С, и С2 , после чего определим t. - момент смены знака функции q. Далее, принимая q (t.) и q (t) в качестве начальных условий для второго участка (q < 0), находим С3 и С4 из решения (4.20) и т. д. Такой прием называют методом припасовывапиярешений. Полная остановка наступает при

И< Р/С = h. Это условие определяет границу так называемои зоны застоя, наблюдаемой во многих стрелочных приборах (рис. 4.4).

Обратимся к еще одному способу описания рассматриваемого колебательного процесса, обладающему большой наглядностью. За один период колебаний механическая система теряет энергию АЕ , которая расходуется на работу сил сопротивления, равную 4РА, где Л - средняя амплитуда на рассматриваемом цикле колебаний.

Таким образом,

Рис. 4.4

Принимая А = 0,5 (Л, + Л2), получим где М =Л2 -Л,.

Поскольку Д/1, согласно (4.21), не зависит от амплитуды, можно утверждать, что амплитуды убывают по арифметической прогрессии, а следовательно, затухание происходит по линейному закону.

Формула (4.21) может быть использована для реализации эффективного способа определения коэффициента трения /. При колебаниях ползуна на горизонтальной направляющей сила нормального давления равна N = mg. Тогда, принимая во внимание, что k2 = с/т, получаем

где Т— 2n/k - период свободных колебаний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >