Полная версия

Главная arrow Техника arrow ДИНАМИКА МАШИН. КОЛЕБАНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Оценка низшей собственной частоты с помощью метода Данкерлея (Dunkerley)

Частотное уравнение (4.35) может быть представлено в виде

Разделим все слагаемые на к1" * 0. где h = к 2.

При действительных корнях уравнения (4.37) согласно одной из формул Виета (1540-1603)

где h. - корни уравнения (4.37).

Таким образом,

Обычно каждая из следующих частот существенно превосходит предыдущую, поэтому определяющим оказывается первое слагаемое этой суммы. Отсюда следует

Можно показать, что коэффициенты В{) и В{ имеют разные знаки, поэтому подкоренное выражение всегда положительно. Особенно удобно применение формулы Данксрлея при оценке низшей частоты изгибных колебаний на основании частотного уравнения (4.36). В этом случае , следовательно,

Следует подчеркнуть, что ценность полученных неравенств состоит не только в том, что они приближенно определяют нижнюю границу возможного диапазона значений собственных частот, но и в то же время служат для приближенной оценки значения низшей частоты.

Позиционные и циклические координаты

Выше мы предполагали, что число собственных частот равно числу степеней свободы II. Так ли это? Рассмотрим следующий простой пример - модель, представляющую собой два диска с моментами инерции Jx иJ2, соединенные упругим элементом с коэффициентом крутильной жесткости с (рис. 4.8). В данной системе, имеющей две степени свободы (Я= 2), примсм в качестве обобщенных координат угол поворота диска /,, равный ф, = qv и угловую деформацию ф2 -ф, = q2. Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид

Рис. 4.8

Позиционной координатой называют обобщенную координату, которая не может быть исключена из выражения потенциальной энергии. Остальные координаты называют циклическими. Таким образом, в нашем примере qx - циклическая координата, a q2 - позиционная.

Теперь имеем

После подстановки в (4.25) получаем частотное уравнение или

Отсюда

Итак, низшая «частота» обратилась в пуль. Это соответствует степени свободы, реализуемой при вращении системы как твердого тела. Единственной частотой, отличной от нуля, оказалась частота k = k.r Обобщая подобные случаи, приходим к важному выводу: число собственных частот, отличных от нуля у равно числу позиционных координагп.

Интересно, что при /, :» J2

что отвечает собственной частоте крутильной системы при защемлении левого конца, т. е. при q{ = 0. Отсюда следует, что относительно большие массы и моменты инерции при частотном анализе эквивалентны защемлению (заделке) соответствующего сечения. При J] =J2 =J согласно (4.41) имеем В этом случае узел колебаний располагается в среднем сечении, что приводит к эффекту двукратного увеличения коэффициента жесткости элемента.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>