Определение собственных частот и форм крутильных колебаний систем с распределенными параметрами

Методику анализа свободных колебаний крутильной колебательной системы проиллюстрируем на простейшем примере вала с защемленным концом (рис. 4.9, а). При решении задач динамики машин такая модель нередко встречается, когда на одном из концов вала расположены детали с относительно большими моментами инерции (см. параграф 4.8).

Выделим элементарный диск длиной dx (рис. 4.9, б), момент инерции которого равен (J/L) dx, и запишем дифференциальное уравнение вращательного движения этого элемента:

где ф(зг,Г) - текущий угол закручивания вала.

Рис. 4.9

Как известно из курса сопротивления материалов,

где G - модуль сдвига, 1р - полярный момент инерции сечения.

После подстановки в (4.50) получаем

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, решение которого ищем в форме

Обратим внимание, что в отличие от формы решения, ранее использованной для системы с сосредоточенными параметрами, амплитуда свободных колебаний А зависит от координаты сечениях. Подставляя (4.52) в (4.51), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной т.

Здесь штрихом обозначена производная

пох.

Решение уравнения (4.53) имеет вид

Для определения констант С, и С.2 зададим граничные условия. При х = 0 имеем /1 = 0, отсюда С, = 0. Тогда А = С2 sin ах. При х = Z, момент M(L) = 0. Следовательно, (Эф/Эх)(1) = 0; при этом A'(L) = C.,gcosoL = 0. Из этого условия вытекает, что либо С., = 0, либо cosoL = 0. В первом случае, согласно (4.54), колебания отсутствуют, что соответствует так называемому тривиальному решению. При нетривиальном решении Л (х) = 0 остается принять cos oL = 0.

Это уравнение имеет смысл частотного уравнения, корнями которого являются

Отсюда собственные частоты определяются как

Поскольку система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы, число собственных частот также оказалось неограниченным.

Для однородного стержня массовый и полярный моменты инерции связаны зависимостью J= рЫр, где р - плотность материала. При этом формула (4.56) принимает вид

Таким образом, собственные частоты не зависят от диаметра вала. Однако при расчете приводов машин нередко приходится учитывать моменты инерции деталей, распределенные вдоль оси вала, которые увеличивают инерционные характеристики системы, оставляя неизменными жесткость вала. В подобных случаях следует пользоваться формулой (4.56).

Форма колебаний характеризует распределение амплитуд вдоль х при фиксированной собственной частоте kr. Поэтому при определении форм на основании решения Д = С2 sin сгх амплитуда колебаний в одном из сечений может быть задана произвольно, например, Д°(?) = 1. Тогда на основании (4.54), (4.55)

Здесь индекс «О» использован для того, чтобы отличать форму колебаний от истинного значения Д(х), для определения которого необходимо задать начальные условия, как это мы делали ранее для систем с сосредоточенными параметрами (см. параграф 4.1).

Ряд первых форм колебаний, построенных по формуле (4.57), приведен на рис. 4.10. С ростом номера частоты г увеличивается число узлов колебаний, причем при г = 1 форма колебаний является безузловой.

С помощью приведенного метода могут быть решены многие задачи частотного анализа систем с распределенными параметрами, различающиеся видом граничных условий, а также задачи смешанного типа, когда в системе наряду с «распределенными» элементами имеются и «сосредоточенные» (см., например, рис. 2.3, а).

Рис. 4.10

Для моделей с распределенными параметрами решение может быть рааложсно по так называемым собственным функциям [1], [9]. Этот прием, аналогичный представлению решения в нормальных координатах в системах с конечным числом степеней свободы, во многих случаях существенно облегчает анализ.

В заключение отметим, что полученные зависимости могут быть при соответствующей корректировке жесткостных характеристик использованы для расчета колебаний стержней некруглого сечения. Приближенность такого подхода состоит в том, что не учитываются силы инерции, возникающие при нарушении плоской формы (деиланации) сечений стержня. Для тонкостенных стержней открытого профиля пренебрежение продольными смещениями при колебаниях является недопустимым.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >