Полная версия

Главная arrow Техника arrow ДИНАМИКА МАШИН. КОЛЕБАНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Построение общего решения при произвольной вынуждающей силе

В этом параграфе применительно к анализу вынужденных колебаний мы напомним некоторые сведения из теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Данное уравнение является математической моделью системы с одной степенью свободы, однако, как показано в под- разд. 4.9, при b = 0 и использовании нормальных координат к уравнению такого вида приводятся колебательные системы с любым конечным числом степеней свободы. Уравнение (5.1) при переносе членов из левой части уравнения в правое отвечает условиям кинетостатического равновесия инерционной (-aq) , диссипативной (-bq), восстанавливающей (-cq) и вынуждающей (F) сил.

Поделив все члены уравнения (5.1) на а, запишем его в следующем виде:

где

Сначала рассмотрим случай, когда отсутствует сила сопротивления (Ь = 0, п = 0). Решение складывается из решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения У:

Зададимся начальными условиями q (0) = qQy q (0) = q{). Тогда следовательно,

Группа слагаемых 1 описывает свободные колебания, частота которых равна собственной частоте, а амплитуда зависит от начальных условий. Группа слагаемых 2 определяет так называемые сопровождающие колебания, частота которых также равна собственной частоте, однако в отличие от свободных колебаний амплитуда здесь не зависит от начальных условий, а определяется разрывами частного решения и его производной при t = 0. Наконец, слагаемое 3 соответствует вынужденным колебаниям, зависящим как от параметров вынуждающей силы, так и от параметров колебательной системы.

Частное решение Y может быть представлено в различной форме. Известна интегральная форма частного решения [1,9,12* ]

называемая иногда формулой Дюамеля. Заметим, что при использовании этой формулы У°(0) = 0; У°(0) = 0, поэтому сопровождающие колебания выявляются после процедуры интегрирования (5.5). Таким образом, интеграл Дюамеля описывает как вынужденные, так и сопровождающие колебания. Если правая часть (5.2) представлена в виде полинома, гармонической или экспоненциальной функции, частное решение может быть найдено в более наглядной форме, не требующей интегрирования (см. параграф 5.2).

При действии силы линейного сопротивления * 0, п 0) воспользуемся подстановкой Эйлера q = q^~m. При этом q = е"" (nq,); q = е"‘ (qt + n2q, - 2nq,). После подстановки в (5.2) получаем

где k2 = k2- riL (обычно 5 = n/k «1, k{ « k); IT, = We"1.

Таким образом, задача сведена к вышерассмотренному случаю. Возвращаясь к исходной переменой, на основании (5.4) запишем

Здесь У, - частное решение уравнения (5.2). В интегральной форме частное решение У,0 имеет вид (У|п(0) = 0; (0) = 0):

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>