Расчет вынужденных колебаний при периодической вынуждающей силе с помощью метода гармонического анализа

До сих пор мы анализировали вынужденные колебания при гармонической вынуждающей силе, являющейся частным случаем периодической вынуждающей силы. Приступая к рассмотрению этого более общего случая применительно к системе с одной степенью свободы, напомним, что с помощью нормальных (главных) координат (см. параграф 4.9) приведенная в этом и следующем параграфах методика может быть легко распространена на систему с конечным числом степеней свободы.

Дифференциальное уравнение теперь имеет вид

где - периодическая вынуждающая сила; т -

период (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Представим функцию F(t) в виде ряда Фурье:

где - коэффициенты Фурье, определяемые

следующим образом:

Для многих типовых случаев FB, F., F. приводятся в справочной литературе; кроме того, имеются стандартные програм-

мы, позволяющие с помощью ЭВМ находить коэффициенты Фурье, задаваясь определенным числом частных значений функции F(t).

При построении решения уравнения (5.40) воспользуемся принципом суперпозиции, справедливым для линейных систем. Применительно к данной задаче он состоит в том, что колебания, возникающие от суммы сил, можно определять как сумму колебаний от каждой силы в отдельности. Так как колебания при гармонической вынуждающей силе были рассмотрены выше (см. параграфы 5.3,5.4), задачу можно считать принципиально решенной.

Представим (5.41) в следующем виде: где

Каждый из членов ряда (5.43) называют гармоникой]. Деформация от постоянной составляющей F0 равнаЛ0 = F0/c. Колебания от гармоники j вынуждающей силы определяются на основании зависимостей (5.25), (5.20), (5.24)

где

статическая амплитуда гармоники у;

у, =arctg|28/z/(l-/2z2)] - фазочастотная характеристика. Окончательно имеем

При jz = 1 (/со = к) возникает резонанс гармоники у; при этом (ае.)рс1=1/(25):

Решение (5.45) является математически точным, однако поскольку при суммировании ряда Фурье приходится ограничиваться конечным числом гармоникушах, с инженерных позиций оно оказывается приближенным. При выборе утах можно руководствоваться следующими соображениями. Во-первых, должны быть учтены наиболее значительные члены

разложения F. Во-вторых, чтобы не отсечь резонансный режим, следует принять j > k/a> + (1 2).

Отметим, что стремление сохранить в ряде Фурье большое число гармоник приводит не только к увеличению трудоемкости расчета, но и к потере точности, поскольку точность определения высших гармоник обычно не велика. Поэтому рассматриваемый способ расчета вынужденных колебаний целесообразно использовать в задачах динамики механизмов при отсутствии ударных нагрузок, а также при непрерывных и дифференцируемых функциях положения, обладающих повышенной «гладкостью». Это свойственно, например, простым рычажным механизмам и эксцентрикам, когда при расчетах можно ограничиваться малым числом учитываемых гармоник.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >