Дельта-метод

Представим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

в следующем виде: где

Параметр &02 удобно выбрать таким образом, чтобы при малых колебаниях 3f/dq—*k?. Так, например, в дифференциальном уравнении (8.1) при 9 = q, /,(<у) =gsin<7/L, Э/, /dq = gcosq/L. При <7 —> 0 имеем cos <7 —> 0, следовательно, kf)2 = g/L. Другими словами, мы выделяем в нелинейной восстанавливающей силе линейную составляющую.

Введем в рассмотрение «безразмерное время» <р = kQt. Очевидно, что

Здесь штрихом обозначена производная по безразмерному времени ср. Аналогичным образом получаем q = k^q", после чего уравнение (8.3) приводится к виду

где

Построим фазовую траекторию, отвечающую уравнению (8.4) (см. параграф 5.13), принимая q = .г, q = у. Для этого предварительно представим q’ как

после чего уравнение (8.4) представим в виде

Если на малом отрезке безразмерного времени Дф считать функцию Д постоянной, то уравнение (8.5) может быть проинтегрировано в общем виде:

где R2 - некоторая константа.

Уравнение (8.6) описывает на фазовой плоскости окружность радиуса R с центром, смещенным по оси хна величину А. Для построения фазовой траектории зададимся начальными условиями q0,q0, определяющими на фазовой плоскости точку М0 с координатами х0= q0 и у0 = q0/k0 (рис. 8.2, а).

При этом начальное положение центра окружности определяется как Л00, у0,0 = 0). Проведем из этого центра небольшую дугу радиусом R{ (обычно угол Дф выбирается равным 10°- 15°). При этом определяется точка М, с координатами xv yv Чтобы найти безразмерное время Дф,, соответствующее этой точке, запишем очевидное равенство г/,Дф, = Дг,, где у, = 0,5 0 + г/,) - средняя безразмерная скорость на данном участке; Дг, = х] - х0. Легко убедиться в том, что Дф, « Ах{{ совпадает с углом (в радианах), отвечающим дуге MQMV

Рис. 8.2

Итак, мы располагаем значениями х,, г/, и ф, = ф0+ Дф,, с помощью которых находим новое значение Д,, после чего изложенное построение повторяется. Аналогичным образом строится вся фазовая траектория. Поскольку каждый следующий шаг основан на информации, полученной на предыдущем шаге, дельта-метод при большом числе шагов дает значительную

накопленную погрешность. Поэтому данный метод целесообразно использовать для оценки поведения нелинейных систем на ограниченных отрезках времени, отвечающих переходным режимам (раскачка, затухание).

В качестве примера построим фазовую траекторию, соответствующую затухающим колебаниям при постоянной силе трения Р = -|Р| sign q (см. параграф 4.3). После приведенных выше элементарных преобразований уравнения (4.17), (4.18) принимают вид

где Д. = |р|/с, с - коэффициент жесткости.

Таким образом, в верхней полуплоскости фазовая траектория представляет собой окружность с центром лгц = -Л,, а в нижней - с центром xti = Д. (рис. 8.2, б). После того, как фазовая траектория пересекает окружность радиуса Д„ движение прекращается.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >