Матрицы перехода с комплексными элементами

Представим гармонические колебания q = a sin (otf + а) в комплексной форме

Пусть a=aetn комплексная амплитуда, модуль которой равен амплитуде колебаний, а аргумент а фазе колебаний. Аналогичным образом гармонической силе отвечает комплексное число Q = Qe'a

В параграфе 9.1 на основании (9.4) была получена зависимость для комплексного коэффициента жесткости с = с (1 + 250’ соответствующего унругодиссинативному элементу при учете позиционной силы трения с коэффициентом рассеяния у (5~ |//(4тс)). Таким образом, в данном случае для учета диссипативной силы достаточно в рекуррентных зависимостях (10.1) и при их представлении в матричном виде (10.2) заменить коэффициент жесткости с на его комплексную форму с ? При этом

где A),Bj,Cj,D) ~ в общем случае комплексные элементы матрицы перехода. (При учете только уиругодиссипативного элемента Л.=Л.=Ь B) = c~',CJ = 0, D, = Df = 1.)

Если сила сопротивления отвечает так называемому вязкому трению, то R = -bq• Поскольку на основании (10.63) q = ia(de,U)t > то в зависимостях (10.64) при учете правила знаков (см. параграф 10.1) следует принять А = 1, B/=(icoi)'1, С — 0 > D =1. С учетом этих корректив рассмотренный в данной главе матричный метод анализа колебаний приводов приобретает достаточно общий характер.

Колебания привода при учете динамической характеристики электропривода и механических характеристик привода машины

Рассмотрим динамическую модель, образованную последовательным соединением подсистем электродвигателя и привода машины (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Как было показано в параграфе 5.10, характеристика асинхронного двигателя и двигателя постоянного тока при установившемся режиме соответствует модели, в которой статор (за- делка) соединен с ротором, момент инерции которого равен Jд, посредством последовательного соединения демпфера (/; =(vio)°l)”1) и упругого элемента (сд = (vlco°l7'l)"1). Напомним, что согласно условным обозначениям, принятым в параграфе 5.10, со" v , Т - соответственно идеальная угловая скорость, коэффициент крутизны статической характеристики и электромагнитная постоянная электродвигателя.

Определим матрицу перехода подсистемы электродвигателя, которая на рис. 10.5 выделена штриховой линией:

Здесь

где со - частота гармонической вынуждающей силы (момента).

«Упругодиссипативную» составляющую этой характеристики представим как

Из (10.66) следует, что матрица Г.л обладает перестановочными свойствами, т. е. не зависит от вида последовательности элементов с и Ъ .

л л

Механическая система в рассматриваемой модели представлена упругодиссипативным элементом cv у,, которому отвечает комплексный коэффициент жесткости с,и приведенный момент инерции Матрица перехода этой подсистемы имеет вид

где

Пусть к выходному элементу системы приложен гармонический вынуждающий момент М = sin соt. Тогда

Здесь A, B,C,D - элементы матрицы перехода Г = Г Г ; ал - комплексная амплитуда на «выходе» (элементУ,); Л/ - комплексная амплитуда движущего момента.

Из (10.68) следует . Отсюда

Амплитудные значения момента двигателя и колебаний привода определяются согласно (10.69) как модули, а фаза колебаний - как аргументы соответствующих комплексных чисел. Эта процедура, как и все промежуточные расчеты, легко реализуется современными компьютерными программами.

Пример. Исследуем динамику привода, схематизированного в виде динамической модели, приведенной на рис. 10.5, при следующих параметрах: со0 = 157 с-1; v = 3 • 10"3 (Нм)"1; Т = 0,043 с; У. = 0,224 кгм2; /, =J0h;Pl = 150 «г1; с, = p2Jv 5, = у,/(4я) = 0,02; Мх = 1 Нм. Здесь в дополнение к условным обозначениям, принятым в параграфе 5.10, введены парциальная частота механической подсистемы pv коэффициент h =JX/J0 и коэффициент демпфирования 8Г

Парциальная частота электродвигателя определяется как p0=yjk2-n2 - где k2 = (vJJ0a>l; «2 = 0,25г;2 (см. пара- граф 5.10). Согласно исходным данным р0 = 9,2 с1.

На рис. 10.6 представлены амплитудно-частотные и фазо- частотные характеристики а (со, h), у (со, Л), где а = |й|, у=-arg а. При этом параметр h принимает значения: h = 0,25 (сплошная линия), h = 0,5 (пунктирная линия), h = 1 (штриховая линия), h = 3 (штрихпунктирпая линия).

Рис. 10.6

Представляет интерес, что с увеличением параметра h «механический» резонанс смещается в область более высоких частот. Дело в том, что при малых значениях h двигатель слабо влияет на эту частоту, и она близка к значению парциальной частоты pv Аналогичная картина имеет место и при больших значениях /г, однако теперь собственная частота стремится к значению, определяемому формулой (4.41), которая в этом случае принимает вид k= p^ + h. Другими словами, при относительно больших моментах инерции привода проявление роли двигателя сводится лишь к учету момента инерции его ротора.

На рис. 10.7 приведено семейство кривых, характеризующих коэффициент неравномерности вращения вала элекгродвига- теля %ш = Дсол /<ВЛ, где шл - среднее значение (0Л; = х<„ ПРИ

ХЮ*^МЛ( 1 + /Tt)- На графиках, как и выше, четко проявляется роль параметра h в формировании динамических искажений идеальных кинематических характеристик. Обычно приведенный момент инерции привода машины меньше момента инерции ротора двигателя (h < 1). В подобных случаях повышение коэффициента неравномерности следует ожидать в окрестности парциальных частот двигателя и колебательной системы привода.

Рис. 10.7

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >