Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД АНАЛОГИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА АНАЛОГИИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ГЕОМЕТРИИ

Аналогия, ее место и роль в процессе обучения математике

Важнейшей задачей школьного математического образования является задача формирования и развития у учащихся мышления вообще и математического в частности. Эта задача напрямую связана с решением проблемы вооружения учащихся математическими видами деятельности.

Известно, что процесс усвоения содержания науки в своей основе происходит с помощью тех же форм мышления, что и его развитие. Показательны в этом плане слова Д. Брунера: «Умственная деятельность везде является той же самой, на переднем ли фронте науки или в третьем классе школы. Деятельность ученого за его письменным столом или в лаборатории, деятельность литературного критика при чтении поэмы — это деятельность того же порядка, что и деятельность любого человека, когда тот занят подобными вещами, если перед ним стоит задача достигнуть понимания определенных явлений. Различие здесь в степени, а не в роде»[1].

Процесс создания математических знаний подобен созданию любых других человеческих знаний, и он в значительной степени строится на переносе отношений и свойств из одной системы в другую систему. Последнее есть определяющая черта тех форм мысли, которые носят название выводов по аналогии. За счет этих выводов по аналогии, которые позволяют переносить результаты, полученные в одной области, на другие области, происходит увеличение этих результатов.

В плане нашей работы значимо высказывание И. Кеплера: «И я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии»[2].

Итак, перенос знаний, полученных при изучении одного объекта на другие объекты, — важнейшая задача не только развития науки, но и школьного образования.

Центральным видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория, развиваются самостоятельность мышления и их творческие способности, является решение задач. Низкий уровень творческого мышления, встречающийся в знаниях учащихся, формализм и отсутствие должной самостоятельности при поиске решения задач есть следствие несовершенства методики обучения школьников решению задач.

Наибольшие трудности испытывают учащиеся при решении стереометрических задач, ибо для их решения, кроме прочих знаний по планиметрии и стереометрии, необходимо уметь рационально выбирать нужные теоретические знания, применять большое разнообразие приемов поиска решения и соединять в процессе решения одной задачи различные математические методы.

Как показывает проведенный нами педагогический эксперимент, эффективным методом обучения учащихся решению стереометрических задач является метод аналогии, так как именно аналогия чаще всего лежит в начале поиска решения многих задач стереометрии. Формирование у учащихся умения применять метод аналогии следует рассматривать как один из эффективных путей развития творческой активности школьников.

Как уже отмечено выше, ряд отечественных и зарубежных ученых в своих работах обращались к рассмотрению вопроса об аналогиях. Ими получены следующие результаты и выводы.

  • 1. Аналогия — особая форма мысли, в результате которой информация одного сложного объекта (модели) переносится на другой (оригинал).
  • 2. Аналогию целесообразно использовать на различных этапах процесса обучения математике: при повторении материала, для установления связей между различными темами курса, при отыскании решения некоторых задач.
  • 3. Применение аналогии в обучении развивает творческие способности учащихся, а степень овладения аналогией характеризует уровень творческого развития человека.
  • 4. Дети с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией.
  • 5. Аналогия приучает учащихся к исследовательской деятельности.
  • 6. Аналогия облегчает усвоение школьниками учебного материала, так как позволяет осуществить мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному.
  • 7. Метод аналогии лишь тогда становится эффективным средством обучения учащихся, когда последние не спонтанно, а целенаправленно были вооружены знаниями об аналогии и у них были выработаны умения использовать метод аналогий.
  • 8. Аналогия обеспечивает живость и полноту изложения учебного материала, а также прочность запоминания этого материала.
  • 9. Если в процессе обучения отсутствует аналогия, то знания теряют стадию недосказанного, предполагаемого, хотя известно, что прежде всего нужно догадаться о математическом факте, а только потом его доказывать; нужно прежде всего догадаться об идее доказательства, а затем уже проводить его в деталях (согласно требованиям историзма истина должна проходить через стадию проблемное™).
  • 10. В психологии установлено, что человек лучше запоминает то действие, которое осталось незавершенным, а аналогия, в отличие от дедукции, позволяет обеспечить остаточную напряженность, которая возникает в результате переноса информации с одного объекта на другой и отсутствия при этом доказательности выдвигаемых гипотез и предположений.
  • 11. Аналогия позволяет оставить некоторые задачи незавершенными, что вызывает у учащихся интерес и стимулирует их учебнопознавательную деятельность.
  • 12. Выводы по аналогии позволяют уменьшить степень схематизации и идеализации действительности и обучают учащихся проводить, в отличие от логических умозаключений, еще и рациональные умозаключения, основанные на здравом смысле.
  • 13. Аналогия содействует появлению новых ассоциаций, которые способствуют углубленному, более сознательному пониманию материала, качественному обновлению знаний.
  • 14. Знания, приобретенные отдельно друг от друга, посредством аналогии соединяются воедино, а значит, аналогия способствует систематизации знаний и рациональному их запоминанию.

Несмотря на большую эффективность метода аналогии в учебном процессе, учителя не владеют методикой обучения учащихся этому методу, да и в дидактико-методической литературе отсутствует необходимое описание обучающей деятельности учителя и учебнопознавательной деятельности учащихся в процессе использования аналогии, пока нет полных ответов на вопросы: «Где и как использовать аналогию?», «Какие существуют пути и средства формирования у учащихся умения использовать аналогию?», не выявлены общие закономерности использования метода аналогии и приемы его применения.

Анализ философской, математической, психолого-педагогической и методической литературы показал существование нескольких подходов к определению понятия аналогии. Выделим наиболее часто встречающиеся из них.

  • 1. Аналогия как понятие, выражающее отношение сходства между различными объектами, системами, явлениями, процессами.
  • 2. Аналогия как особая логическая форма умозаключения, которая используется наряду с индукцией и дедукцией.
  • 3. Аналогия как метод познания.

В литературе чаще всего аналогию трактуют в отмеченном выше первом понимании и тогда она есть характеристика глубокого внутреннего сходства, одинаковости структуры множеств предметов различной природы.

В соответствии с первым подходом, обобщая приводимые в литературе определения аналогии, можно дать следующее толкование этого понятия: аналогия — сходство в каком-либо отношении между явлениями, предметами, понятиями.

Определение понятия «аналогия» как формы умозаключения в работах разных авторов не имеет особых различий и принимается ими как особый вид умозаключения, который используется наряду с индукцией и дедукцией.

Дадим свое толкование понятия аналогии как формы умозаключения, основанное на определении, приведенном Б. Форгаши[3]: аналогия — умозаключение, при котором из некоторых сходных признаков двух предметов (явлений, процессов) и известного признака одного предмета делается умозаключение о том, что и другой предмет обладает этим сходным признаком.

С логической точки зрения общая схема умозаключения по аналогии такова:

  • • пусть объект X обладает признаками a, b, с, d;
  • • пусть объект Y обладает аналогичными признаками а', Ь', с';
  • • следовательно, объект Y, по всей видимости, будет обладать и признаком d', аналогичным признаку d.

Рассмотрим это на примере.

Если под объектом X понимать прямоугольник, то про него можно сказать, что он обладает следующими свойствами: а) все углы прямые; б) диагонали равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; в) квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Если под объектом Y считать прямоугольный параллелепипед, то про него можно сказать, что он обладает следующими свойствами: а') все плоские углы при вершинах прямые; б') диагонали равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, можно предположить о наличии у объекта Y свойства в'): квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Данное утверждение легко доказывается в учебнике[4].

Отметим, что в отличие от дедуктивных и индуктивных (полная индукция) умозаключений выводы, полученные с помощью аналогии, являются лишь гипотетическими, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строгого доказательства.

Приведем пример, когда вывод, сделанный на основе аналогии, не подтверждается.

Площадь треугольника по формуле Герона равна

где р — полупериметр; а, Ъ, с — стороны треугольника.

Легко предположить неверное обобщение этой формулы для четырехугольника:

где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника.

Однако аналогия может дать путь и для получения формулы площади четырехугольника:

где р — полупериметр; a, b, с, d — стороны четырехугольника.

Как очевидно, из этой формулы легко получить формулу Герона, если предположить, что треугольник — это четырехугольник, у которого длина одной из сторон стремится к нулю.

Следует заметить, что два четырехугольника, имеющие соответственно равные стороны, могут иметь разные площади. Например, площадь ромба будет меньше площади квадрата, построенного на стороне ромба. Поэтому для последней формулы необходимо уточнение. Она верна только для вписанных четырехугольников.

Если же четырехугольник такой, что около него можно описать окружность, а также существует и вписанная в него окружность, то его площадь можно найти по более простой формуле:

Примерами аналогий могут служить следующие: бесконечные ряды и интегралы в различных отношениях аналогичны конечным суммам, пределами которых они являются; дифференциальное исчисление аналогично исчислению конечных разностей; линейные однородные уравнения до некоторой степени аналогичны алгебраическим уравнениям; сложение чисел аналогично умножению чисел в той степени, в какой сложение и умножение подчиняются одним и тем же правилам; вычитание чисел аналогично в известном смысле делению чисел.

Приведем еще примеры аналогий. Устанавливается связь по аналогии между треугольниками и тетраэдрами, между окружностью и сферой и т.д. В планиметрии известен следующий факт: в любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от сторон треугольника. Находя аналогию между простейшим многоугольником — треугольником и простейшим многогранником — тетраэдром, мы строим следующее умозаключение по аналогии: в любой тетраэдр можно вписать единственную сферу, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра. Конечно, это утверждение требует своего дедуктивного доказательства, которое строится на синтезе понятий и их свойств, относящихся к тетраэдру, причем этот синтез осуществляется в том же порядке, в каком он проводился и для треугольников.

Мы будем придерживаться определения понятия математической аналогии, данного Е. А. Беляевым: «Математическая аналогия есть тождественность в широком смысле каких-либо систем свойств математических объектов, возникающая как результат совмещения данных систем и основывающаяся на внутреннем сходстве и взаимосвязанности математики в целом»[5].

В словаре по логике отмечается, что аналогия, так же как и другие формы умозаключения — индукция и дедукция, — неразрывно входит в единый мыслительный процесс. Она тесно связана с ними и не может существовать без непрерывного взаимного дополнения и взаимодействия с другими умозаключениями[6].

Действительно, при построении умозаключений по аналогии мы прежде всего используем индукцию, ибо переход от объекта А к объекту В состоит в установлении связей между свойствами объекта А и свойствами объекта В. Но так как аналогия дает лишь гипотетические выводы, а они требуют особых доказательств, то аналогия напрямую связана и с дедукцией.

Вообще же говоря, метод аналогии участвует в таких мыслительных операциях, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация, специализация. Главное же достоинство метода аналогии состоит в том, что он позволяет строить всякого рода предвидения, которые выступают как одна из специфических особенностей психической деятельности человека.

Предвидение изучается учеными с двух сторон: с одной стороны, как результат интуиции, выступающий в виде догадки, озарения, предсказания (В. Ф. Асмус, А. А. Налчаджан, М. Бунге и другие), с другой — как результат осознанного, целенаправленного мыслительного поиска, выступающий в виде прогнозов, гипотез, планов (А. Г. Никитина,

В. Г. Виноградов, Г. В. Рубанов, Э. А. Мирохина и другие). В целях настоящей работы нас интересует предвидение в плане второго аспекта.

  • [1] Брунер Д. Процесс обучения. М. : Педагогика, 1962. С. 17.
  • [2] Цит. по : Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения : пер. с англ. М. :Наука, 1975.
  • [3] Форгаши Б. Логика / под ред. П. С. Попова. М. : Изд-во Иностранной литературы,1959.
  • [4] Геометрия : учебник для 10—11 классов средней школы / Л. С. Атанасян [и др.].М. : Просвещение, 1992.
  • [5] Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М. : Изд-во МГУ, 1975. С. 26.
  • [6] Кондаков Н. И. Логический словарь / отв. ред. Д. П. Горский. М.: Наука, 1971. С. 31.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>