Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД АНАЛОГИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Предельная аналогия в процессе обучения учащихся геометрии

Исследование некоторого целого объекта предполагает, если это возможно, изучение его частей, видов, частных случаев, взаимодействия с другими сопоставимыми объектами. В свою очередь знания о части объекта включают в себя и знания целого.

Как верно замечает М. Н. Сизова, «в настоящее время в использовании аналогии при обучении математике проявляется целостный подход, без выделения ее видов»[1]. Однако подобно тому как при изучении различных тем необходимо применение различных методик, так и различные виды аналогии требуют разных методических подходов. Подчеркнем, что при этом мы не отрицаем общего в использовании различных видов аналогии в обучении школьников, причем не только математике, а любому предмету вообще.

Е. А. Беляев, анализируя виды тождеств, существующих в математике, и сопоставив им аналогию, выделил шесть ее основных видов в математике: аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразований, тривиальная аналогия[2]. Характеристики этих видов аналогии и соответствующие примеры приведены нами в учебных пособиях[3].

В данном параграфе остановимся на характеристиках такого вида аналогии, как предельная аналогия.

Предельная аналогия заключается в том, что предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с системой свойств какого-либо другого математического объекта.

Поскольку в курсе школьной геометрии мы рассматриваем геометрические фигуры, их свойства и отношения, то при раскрытии понятия предельной аналогии необходимо показать то, что мы понимаем под предельным преобразованием геометрических фигур.

Анализ научно-методической литературы показывает, что понятие предельных преобразований геометрических фигур в ней отсутствует. Поэтому перед нами встала проблема дать свое толкование указанному понятию.

Практика показала, что дать строгое определение предельным преобразованиям геометрических фигур, на основе которого можно было бы однозначно отвечать на вопрос задачи, не представляется возможным. Это связано с тем, что в зависимости от условия задачи в результате одних и тех же преобразований мы можем получать различные объекты, а следовательно, и различные ответы.

Покажем это на следующем примере.

На сторонах угла А, величина которого равна ф, отмечены такие три точки М, N и В (рис. 1.1, а), что AM = AN = а и АВ = b = const. Найдите расстояние между точками N и В, если MN —> 0.

Рис. 1.1

В зависимости от того, какие величины, помимо Ь, мы примем в качестве постоянных, будем получать различные ответы.

Если положить, что не изменяется величина ф, то точки М и N будут стремиться к вершине угла — точке А. Тогда расстояние между точками N и В будет равно Ъ (рис. 1.1, б).

Если положить, что не изменяется величина а, то, для того чтобы MN —> 0, надо устремить к нулю угол ф, тогда расстояние между точками N и В будет равно | b - а | (рис. 1.1, в).

Если предположить, что могут изменяться ф и а, то ответ данной задачи указать невозможно.

Как очевидно из приведенного примера, в разных случаях мы получали различные ответы. И это показывает, что результат преобразования зависит от тех условий, которые рассматриваются в условии задачи. На данном примере мы старались показать, что невозможно дать такое определение понятию предельного преобразования геометрических фигур, опираясь на которое, можно было бы однозначно указывать тот объект, который должен получаться в результате его применения.

Дадим следующее толкование предельного преобразования.

Под предельным преобразованием геометрической фигуры F, переводящим ее в фигуру F', будем понимать такое изменение первоначальной фигуры, при котором в результате замены величин некоторых элементов фигуры F их предельными значениями получаем фигуру F'. Предельные значения определяются из условия каждой конкретной задачи.

Сделаем два замечания.

  • 1. В нашем случае мы дали общее понимание предельных преобразований геометрических фигур. Пытаясь уточнить его путем описания предельных преобразований конкретных геометрических фигур, мы пришли к выводу, что в таком случае придется дать определения предельных преобразований практически для каждой рассматриваемой нами задачи, что не является целесообразным. Поэтому при решении задач, связанных с предельными преобразованиями, мы выделяем те возможные случаи, которые могут возникнуть при их анализе и решении.
  • 2. Л. Н. Ланда и С. И. Шапиро[4] отмечают, что абсолютное большинство определений математических понятий даны в школьном учебнике «логически сплошно», за этой формой определения ученик не видит процедуру получения понятия. Учитывая это, на практике мы не давали строго определения понятию предельного преобразования, а учащиеся использовали его на интуитивном уровне.

Также это связано с тем, что:

  • • предложенная нами методика строится не на дедуктивной основе, а на конкретно-индуктивной, и такой подход не требует, в конечном счете, строгого определения вводимого понятия;
  • • предельная аналогия является не целью изучения, а тем средством, с помощью которого мы обучаем школьников;
  • • в условии задач описываются преобразования, осуществление которых приводит к однозначному результату, если же отсутствие строгого определения предельных преобразований ведет к неоднозначности ответа, то это компенсируется тем, что проводится анализ условия задач, в ходе которого открываются возможные результаты предельных преобразований.

В математике Е. А. Беляев выделяет три вида предельной аналогии, которые определяются «в зависимости от специфики функционирования предельного преобразования»[5]. Укажем их.

  • 1. Предельная аналогия возникает между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предельного преобразования.
  • 2. Предельная аналогия между двумя объектами возникает после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование.
  • 3. Предельная аналогия возникает между объектом, к которому применено предельное преобразование, и каким-либо другим, неизменным в этом смысле объектом.

Как показала практика, наиболее используемыми при обучении учащихся геометрии являются первые два вида предельной аналогии. Приведем примеры, раскрывающие их суть.

Например, можно говорить о предельной аналогии между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, если высоту (длину или ширину) прямоугольного параллелепипеда устремить к нулю. Тогда многие элементы прямоугольника можно рассматривать как проекции их стереометрических аналогов. Например, диагональ прямоугольника является проекцией диагонали прямоугольного параллелепипеда; центр симметрии прямоугольника совпадает с центром симметрии прямоугольного параллелепипеда и т.д.

Методы решения многих стереометрических задач для прямоугольного параллелепипеда очень часто совпадают с методами решения планиметрических задач для прямоугольника. Например, определив условие, при котором в прямоугольник можно вписать окружность, устанавливаем, что схожая стереометрическая задача решается аналогично.

Покажем на примере, когда предельную аналогию можно установить между равнобедренным треугольником и правильной треугольной пирамидой, к которым применим следующие аналогичные предельные преобразования.

В окружность вписан равнобедренный треугольник, у которого высота значительно больше основания. Будем увеличивать основание треугольника до тех пор, пока его площадь не достигнет своего наибольшего значения. Это произойдет тогда, когда основание будет равно боковой стороне, т.е. получим равносторонний треугольник.

В сферу вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота значительно больше стороны основания. Будем увеличивать стороны основания данной пирамиды, пока ее объем не достигнет своего наибольшего значения. В итоге получим такую пирамиду, у которой все ребра одинаковой длины (правильный тетраэдр).

Рассмотрим реализацию второго вида предельной аналогии на примере вычисления площади круга и площади сферы.

Пусть дана окружность радиусом г с центром в точке О. Разделим радиус г на п частей (рис. 1.2, а). Проведем через точки деления концентрические окружности. Площадь круга равна сумме площадей концентрических колец (исключение составляет самая внутренняя окружность). Площадь каждого кольца приближенно заменим площадью прямоугольника, который будет получаться при «выпрямлении» такого. Легко показать, что в таком случае площадь круга S приближенно равна S ~ Т7Т[6] [7](1 + 1/п). Переходя к пределу при п —> со, получаем точное значение площади круга S = тгг[7].

Рис. 1.2

Совершим аналогичные действия при вычислении площади сферы (О, Ю . Для этого рассмотрим сечение полусферы (рис. 1.2, б). Разделим радиусы ОА, ОС, ОВ на п частей. Построим цилиндры, так что радиус основания нижнего цилиндра равен радиусу сферы, а радиус основания каждого последующего уменьшается на R/n. Легко показать, что площадь сферы S приближенно равна удвоенной сумме площадей вертикальных частей ступенек и площадей горизонтальных частей ступенек, т.е. S ~ 2vR[7]{2 + 1/п). Переходя к пределу при п —> <», получаем точное значение площади сферы S = 4тtR[7].

В нашей пособии ведущим видом является предельная аналогия, однако при использовании ее в обучении проявляются и другие виды аналогии, в основе выделения которых лежат другие основания.

В работах А. И. Уемова1, А. А. Ивина[7], А. А. Старченко[12], Н. В. Воробьева[13] и других можно встретить деление аналогии на аналогию свойств

и аналогию отношений. Более того, эти два вида аналогий наиболее часто применимы в процессе обучения учащихся геометрии, так как абсолютное большинство пространственных объектов, свойств и отношений являются обобщениями их плоскостных аналогов.

Выводы по аналогии свойств и по аналогии отношений классифицируются по типу используемых в них посылок и заключений. Если мы имеем посылку (модель) и заключение (прототип), то в зависимости от того, что переносится — свойство или отношение, говорят об аналогии свойств или об аналогии отношений.

Так, если установлено, что объект А аналогичен объекту В и свойства объекта А переносятся на объект В, то имеем аналогию свойств. «По иному обстоит дело в случаях аналогии отношений, — отмечает

А. А. Старченко, — здесь уподобляются друг другу не два отдельных предмета, а два отношения между предметами. Если установлено, например, что явление А относится к явлению В так же, как явление С относится к явлению D, то тем самым на отношение СD может быть перенесено все то, что установлено в отношении между первой парой явлений А — В»[14].

Покажем эти два вида аналогии на следующем примере.

Рассмотрим четырехугольник, у которого противоположные стороны не являются параллельными (рис. 1.3, а). Прямые, содержащие стороны этого четырехугольника, разбивают плоскость на области. В каждой такой области поставим число, соответствующее количеству сторон четырехугольника, которые можно осветить точечным источником света, находящимся в этой области (границы областей в рассмотрение не включаются).

Рис. 1.3

Аналогичные действия совершим относительно объекта В — трапеции, изображенной на рис. 1.3, б, и относительно объекта С — параллелограмма, изображенного на рис. 1.3, в.

Можно задать такое предельное преобразование, которое переводит объект А в объект В. Тогда между этими объектами возникает предельная аналогия, которой соответствует аналогия свойств. Действительно, многие свойства четырехугольника (см. рис. 1.3, а) верны и для трапеции.

Однако здесь можно увидеть и то, что не все свойства объекта А переносятся на объект В. Например, для объекта А верно, а для объекта В неверно то, что область, отмеченная цифрой 3, не является связной. И, следовательно, возможный вывод по аналогии с объектом А о существовании у объекта В области «3», которая не является связной, был бы ложным.

Для объекта А и для объекта В можно задать такие аналогичные предельные преобразования этих объектов, которые переводят их соответственно в аналогичные им объекты В и С. Тогда между объектами А и В возникает предельная аналогия, которой соответствует аналогия отношений. Действительно, многие отношения между парой объектов А и В верны и для пары объектов В и С.

Так, например, для объекта А можно указать две области «3», а для объекта В — лишь одну, т.е. при предельном преобразовании одна область вырождается. Относительно объектов В и С существует аналогичная зависимость: для трапеции можно указать лишь единственную связную область «3», для параллелограмма такая область — пустая, т.е. она вырождается.

В научно-методической литературе выделяют и другие виды аналогий: аналогия реальная, атрибутивная и релятивная[6], аналогия простая и распространенная[16], аналогия строгая и нестрогая[17] и др.

В геометрии относительно двух рассматриваемых объектов возможны три случая, а именно: или оба объекта являются планиметрическими, или оба — стереометрическими, или один относится к планиметрии, а другой — к стереометрии. Поэтому в зависимости от принадлежности рассматриваемых объектов либо к планиметрии, либо к стереометрии можно выделить различные виды аналогий.

Аналогию между двумя объектами назовем внутренней, если аналогичные объекты изучаются либо в планиметрии, либо в стереометрии.

Если один из объектов является планиметрическим, а другой — стереометрическим, то аналогию между ними назовем внешней.

Таким образом, аналогия между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, свойствами прямоугольника и сходными свойствами прямоугольного параллелепипеда будет внешней. А внутренней аналогией будет, например, аналогия между средней линией треугольника и средней линией трапеции, трехгранным углом и тетраэдром и т.д.

Деление аналогии на внутреннюю и внешнюю не противоречит логике строения школьного курса геометрии — такое выделение двух видов аналогии согласуется с привычным делением геометрии на планиметрию и стереометрию.

В зависимости от рассматриваемых объектов нами выделены четыре вида аналогии в геометрии и в следующих параграфах описана методика работы с ними:

  • • аналогия между фигурами;
  • • аналогия между величинами;
  • • аналогия между отношениями;
  • • аналогия между теоремами, задачами.

Следующая схема наглядно демонстрирует такое деление аналогии в геометрии (рис. 1.4).

Рис. 1.4

То, что в данном пособии большое внимание уделяется предельной аналогии, связано с рядом причин.

  • 1. Интерес представляет изучение явлений в их крайних, предельных состояниях.
  • 2. Предельные преобразования фигур вносят в геометрию динамичность. Как показывает анализ школьных учебников, большинство геометрических задач предполагает нахождение неизвестных в фигурах, имеющих жесткую конструкцию (например, «постройте биссектрису угла, равного 90°») или доказательство таких фактов, на которые не влияет расположение элементов, описанных в условии задачи (например, «докажите, что существует единственная точка, равноудаленная от вершин тетраэдра»). Появление же задач, условие которых предполагает изменения рассматриваемой фигуры, заставляет анализировать результат (следить за ответом) при различных состояниях исходного объекта, а это положительно сказывается на развитии продуктивного мышления школьников.
  • 3. Мысленное представление изменяющихся фигур или их элементов положительно сказывается на развитии пространственного мышления, формирование которого является одной из важнейших задач курса геометрии.
  • 4. Как показал эксперимент, предельные преобразования геометрических фигур, подобные преобразования аналогичных фигур и, особенно, связанные с ними преобразования формул позволяют развивать интерес учащихся к геометрии.
  • 5. Включение в процесс обучения геометрии задач, которые предполагают использование предельной аналогии, позволяет обучать школьников: а) переносу метода решения одних задач на другие; б) составлению задач, используя уже ранее составленные. Это в свою очередь обеспечивает реализацию внутрипредметных связей в процессе обучения геометрии.

  • [1] Сизова М. Н. Преемственность в формировании аналогии при обучении математике в начальных и 5—6 классах средней школы : автореф. дис. ... канд. пед. наук.Саранск, 1999. С. 4.
  • [2] Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М. : Изд-во МГУ, 1975.
  • [3] Далингер В. А. Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии :учеб, пособие. Омск : Изд-во ОмГПУ, 1997; Костюченко Р. Ю. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии : учеб, пособие / под ред. В. А. Далингера. Омск : Изд-во ОмГПУ, 1999.
  • [4] Ланда Л. Н. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975; Шапиро С. И. От алгоритмов — к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления. М. : Советское радио, 1973.
  • [5] Беляев Е. Л., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Указ. соч. С. 38.
  • [6] Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования.
  • [7] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить.
  • [8] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить.
  • [9] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить.
  • [10] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить.
  • [11] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить.
  • [12] Старченко А. А. Роль аналогии в познании. М. : Высшая школа, 1961.
  • [13] Воробьев Н. В. Умозаключение по аналогии. М. : Изд-во МГУ, 1963.
  • [14] Старченко А. А. Указ. соч. С. 10.
  • [15] Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования.
  • [16] Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика.
  • [17] Там же.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>