Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД АНАЛОГИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ УМЕНИЮ ПРИМЕНЯТЬ МЕТОД АНАЛОГИИ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ

Дидактико-методические особенности использования метода аналогии

В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутри- предметных связей с аналогичными планиметрическими фактами. Как уже указывалось, примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т.д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно-концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте.

Разные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логикоструктурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.

Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно-концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкие обобщения, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее родственный материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности.

Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо проблема создания таких учебников геометрии, в которых бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».

Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная дедукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие нагляднообразного и словесно-логического мышления.

В данном параграфе мы хотим на примерах показать, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.

Пример 2.1. Плоскостная изопериметрическая теорема — пространственная изопериметрическая теорема.

Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар — наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения, приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос.

В планиметрии известна такая теорема: из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг. Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг.

Пусть S — площадь фигуры, L — длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и крут с радиусом г являются изопериме- трическими: Ь = 2лг, тогда S < лг2 . Подставляя вместо г его выражение

через L ( ), преобразуем неравенство:

Частное зависит только от формы фигуры и не зависит от его

размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении 2 : 1, то периметр станет равен 2L, а площадь — 4S, но частное , как и частное , останется неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении.

Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в таком виде: из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг.

Аналогом в стереометрии этой последней формулировке теоремы будет такая теорема: из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар.

Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в таком виде: , где V — объем тела; S — площадь полной поверхности тела.

Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?»

Читателю будет небезынтересно узнать своеобразную трактовку изопериметрической теоремы, которую приводит Д. Пойа[1]: «К изо- периметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассуждения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготавливается ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».

Изложенная выше стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет по-новому, совсем с других позиций изучать тему «Тела вращения».

Известна формула для вычисления комфортности жилища: , где К — изопериметрический коэффициент комфортности;

V — объем жилища; S — полная поверхность жилища, включая и пол.

Учащимся можно предложить подсчитать коэффициент комфортности восточносибирского чума (рис. 2.1), яранги континентальных эскимосов Аляски (рис. 2.2), жилища береговых чукчей (рис. 2.3), жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 2.4), жилища народов кирди в Камеруне (рис. 2.5), нашего обычного жилища в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.6).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Изопериметрический коэффициент К всегда меньше единицы или равен ей. Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, — это шар. Не поэтому ли неопознанные летающие объекты шарообразны (как утверждают те, кто их видел)?

Пример 2.2. Принцип Кавальери для плоских фигур — принцип Кавальери для пространственных фигур.

Итальянский математик Б. Кавальери (1598—1647) в своем основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и объемов — так называемый метод неделимых. Неделимыми он назвал параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных фигур относятся как квадраты, а объемы — как кубы соответствующих неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери. Приведем его формулировку.

Для плоскости. Если две плоские фигуры могут быть перемещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить два параллелограмма (рис. 2.7) с равными основаниями и равными высотами.

Рис. 2.7

Для пространства. Если две объемные фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой- нибудь заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными высотами (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Пример 2.3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: если три грани тетраэдрапрямоугольные треугольники (рис. 2.9), то S? +Sf +Sf =S|, где Sj, S2, S3площади граней, составляющих прямой угол; S4площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного угла.

Рис. 2.9

Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ДАВО — аиЬ;у ДАОС — а и d; у ДАСВ — Ъ и d, тогда

Для того чтобы найти S4, найдем гипотенузу ААСВ:

Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна

Высоту четвертой грани (ДDBC) будем искать по теореме Пифагора: Тогда

Согласно равенствам (1) имеем

бб

Так как правые части последнего равенства и равенства (2) равны, то равны и левые части:

На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую обобщенную теорему Пифагора для проекций: квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые.

Пример 2.4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является пространственным аналогом такой плоскостной теоремы: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы.

Формулировка аналогичной теоремы для пространства: если трехгранный угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся как произведения длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов.

Пример 2.5. В планиметрии рассматривается такая задача: как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на т единиц?

Решим ее. , где а и h — основание и высота треугольника;

С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника равно площади треугольника с тем же основанием а и высотой т (рис. 2.10). Следовательно, площади заштрихованных частей равны между собой.

Рис. 2.10

Аналог этой задачи в стереометрии следующий. Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на т единиц?

Ее решение:

Имеем , т.е. увеличение объема равно объему пирамиды с таким же основанием и высотой, равной т единиц.

Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса. Пример 2.6. Рассмотрим следующую планиметрическую задачу. «Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте треугольник, равновеликий объединению данных треугольников».

Ее решение:

т.е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных треугольников.

Этой задаче в стереометрии есть аналог: «Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой (конусом), равновеликой их объединению».

Ее решение:

таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же основание, а ее высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид (конусов).

Пример 2.7. В планиметрии для прямоугольного треугольника решается следующая задача. «Пусть дан прямоугольный треугольник ABC: ZC = 90°, СА = Ь, СВ = a, h — высота треугольника, проведенная

из вершины С. Доказать равенство ».

Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра следующим образом. «Если в тетраэдре ABCD ребра ЕА, ЕВ, ЕС перпендикулярны между собой и их длины соответственно равны а, Ь, с и h — высота тетраэдра, проведенная из вершины Е, то имеет место равенство

».

Пример 2.8. В планиметрии рассматривается следующая задача на доказательство. «Даны две параллельные прямые; на одной из них произвольно взят отрезок АВ, а на другой — точка С. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С».

Для трехмерного пространства, где аналогом треугольника выступает тетраэдр, эта задача будет формулироваться следующим образом.

«Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них произвольно выбран отрезок АВ, на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D».

Подчеркивая важность работы, предложенной в последних заданиях, уместно привести высказывание Д. Пойа о том, что если учащийся не имел ни одного случая решить задачу, изобретенную им самим, то его математический опыт нельзя считать полным.

Установление аналогий будет идти успешнее, если у учащихся будет сформировано умение проводить сравнение. Благодаря сравнению объектов, явлений, процессов человек получает возможность мыслить глубже и его знания становятся более прочными и осмысленными. Сравнение позволяет сформировать у школьников умения находить сходства и различия понятий, процессов, явлений, что активизирует мыслительную деятельность и ускоряет процесс умственного развития.

Сравнение осуществляется в двух основных формах: сопоставления и противопоставления. Противопоставление направлено на уяснение отличительного в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств. Сопоставление направлено на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов. Как показывают исследования психологов, ученик осознает различие раньше, чем сходство.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изученном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные и отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупненными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученным. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно удалены друг от друга во времени.

В установлении аналогий плоскостных и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

  • 1. Выявление признаков понятий.
  • 2. Установление общих и существенных признаков.
  • 3. Выбор одного из существенных признаков в качестве основания для сравнения.
  • 4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.

Чтобы учащиеся понимали, что аналогия может привести к ложным выводам, целесообразно предлагать задания, например, такого типа:

  • • 1. Какое из сечений, проходящих через образующие цилиндра, имеет наибольшую площадь?
  • • 2. Какое из сечений, проходящих через образующие конуса, имеет наибольшую площадь?

Ответ на первый вопрос таков: наибольшую площадь имеет осевое сечение цилиндра. Как показывает наша практика, учащиеся, давая ответ на второй вопрос, строят его по аналогии и тем самым дают неверный ответ. Осевое сечение конуса будет наибольшим только в том случае, если угол в этом сечении прямой или острый; если же угол тупой, то наибольшая площадь у неосевого сечения, в котором угол между образующими прямой.

Но даже эти ошибочные аналогии в процессе обучения математике имеют ценность. Д. Пойа по этому поводу замечает: «Смутность аналогии не уменьшает ее интереса и полезности»[2].

Для систематического применения метода аналогии А. Л. Жохов[3] выявил систему подготовительных, реализующих, контролирующих действий, которую можно представить в виде такой схемы (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Один из аналогичных объектов должен быть принят учащимися как объект исследования (оригинал), а второй — как вспомогательный для исследования (модель первого). Условиями первоначальной учебной ситуации такие представления у учащихся обычно не создаются. Отсюда необходимость специальных подготовительных действий и упражнений (Дп) по преобразованию первоначальной учебной ситуации в ситуацию по применению аналогии (действия Дп', Дп", Дп'", отличающиеся друг от друга своими результатами соответственно: получаемыми учащимися представлениями об оригинале, моделях, аналогии).

Применение аналогии предусматривает совершение следующих реализующих действий (Др): построение или выбор совокупности моделей для исследования оригинала (Др'); исследование моделей для отыскания таких их характеристик, которые могут быть перенесены на оригинал (Др"); преобразование полученных характеристик моделей в характеристики оригинала (Др'"). Действия совершаются при выполнении соответствующих упражнений, при этом совершается перенос информации с модели на оригинал, т.е. делается вывод по аналогии.

Сведения, полученные в результате совершения результирующих действий, в общем случае гипотетическими. Этим определяется необходимость контролирующих действий и упражнений (Дк): отыскание различий моделей и оригинала, т.е. границ аналогии (Дк') ; дедуктивное установление истинности полученных сведений (Дк"); сравнение сведений о моделях и оригинале с целью исследования последнего (Дк'"); сравнение результатов исследования с целью первоначальной учебной ситуации (Дк). Контролирующие действия целесообразно выполнять параллельно с действиями предыдущих видов.

Логически целесообразным продолжением действий и упражнений всех предыдущих видов являются транслирующие (Дт): повторное применение аналогии в условиях той же учебной ситуации (Дт'); переход к другой учебной ситуации, в чем-либо аналогичной первой (Дт").

  • [1] Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М. : Наука, 1975.
  • [2] Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. С. 48.
  • [3] Жохов А. Л. Указ. соч.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>