Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД АНАЛОГИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Аналогия, связанная с преобразованиями геометрических фигур.

Если какое-либо предельное преобразование некоторой геометрической фигуры приводит к другой геометрической фигуре, то такие фигуры можно считать аналогичными. Это связано с тем, что каждое преобразование сохраняет определенные свойства геометрических фигур, поэтому, относительно таких свойств, исходную и преобразованную фигуры можно считать аналогичными.

Существуют такие преобразования, которые, как пишет Д. Пойа, достигают точности математического понятия. Укажем здесь те из них, которые рассматриваются в школе.

  • 1. Движения, т.е. преобразования геометрических фигур, сохраняющие расстояние между точками. К таким преобразованиям можно отнести:
    • • параллельный перенос;
    • • преобразование симметрии относительно точки;
    • • преобразование симметрии относительно прямой;
    • • преобразование симметрии относительно плоскости;
    • • поворот на плоскости;
    • • вращение вокруг оси в пространстве.
  • 2. Преобразования подобия, т.е. преобразования геометрических фигур, сохраняющие их форму. Наиболее простым из них является гомотетия. На рис. 2.15 треугольники ABC, MBN и КВМ попарно подобны, однако, из них гомотетичны только треугольники АВС и MBN.

Рис. 2.15

  • 3. Проектирование стереометрических фигур на плоскость и плоскости на плоскость. Здесь можно выделить:
    • • прямоугольное или ортогональное проектирование;
    • • параллельное проектирование;
    • • центральное проектирование.

Каждое проектирование сохраняет свои определенные свойства.

Итак, мы рассмотрели несколько способов нахождения аналогичных понятий планиметрии и стереометрии. Однако ввиду субъектного характера аналогии следует заметить, что их существует гораздо больше. Но, как показала практика, отмеченных способов для организации учебного процесса по составлению списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии учителю вполне достаточно.

Как показал педагогический эксперимент, полезно предлагать учащимся плоскостные и пространственные аналоги, оформленные в виде таблиц. Такими таблицами могут быть следующие (табл. 2.2—2.5).

Таблица 2.2

Аналогичные аксиомы плоскости и пространства

Аксиомы планиметрии

Аксиомы стереометрии

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (уточненная аксиома: прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости)

4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства

Аналогичные теоремы плоскости и пространства

Теоремы планиметрии

Теоремы стереометрии

2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

3. В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон

3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений

4. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке Ах, а сторону ВС — в точке В j. Тогда треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1

4. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду

5. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих

S(Fj) Ь2

линейных размеров: =К*

S(F2)

5. Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих

V(7i) ,3

линейных размеров: =К°

V{T2)

Аналогичные свойства параллелограмма и параллелепипеда

Таблица 2.4

Свойства параллелограмма

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные стороны параллелограмма равные отрезки

1. Противоположные грани параллелепипеда равные параллелограммы

2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам

2. Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам

Окончание табл. 2.4

Свойства параллелограмма

Свойства параллелепипеда

3. Диагонали прямоугольника равны

3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

6. Диагонали квадрата пересекаются в точке, являющейся центром вписанной и описанной окружностей

6. Диагонали куба пересекаются в точке, являющейся центром вписанной и описанной сфер

Таблица 2.5

Аналогичные свойства окружности и сферы

Две окружности

Две сферы

Две окружности

Две сферы

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>