Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: МЕТОД АНАЛОГИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Методика обучения учащихся решению задач, которые предполагают использование предельной аналогии

Для того чтобы учить школьников пользоваться предельной аналогией, нужен соответствующий учебный материал. Предлагаемые с этой целью задачи нами разбиты на три группы.

I. Задачи, при решении которых учащиеся знакомятся с предельной аналогией.

II. Задачи, в условии которых для предельных преобразований предложены комбинации нескольких геометрических фигур.

III. Задачи, содержащие одновременное преобразование геометрической фигуры и аналитического выражения, связанного с этой фигурой.

Раскроем методику обучения учащихся решению задач каждой группы, которая апробирована нами в педагогическом эксперименте.

Методика решения задач, направленных на знакомство учащихся с предельной аналогией

Многие из задач этой группы должны являться подготовительными, в них необходимо рассматривать предельные преобразования, не представляющие особой трудности, но в то же время их решение формирует у учащихся понятие о предельных преобразованиях геометрических объектов.

Эксперимент показал, что целесообразно рассматривать предельные преобразования геометрических фигур, связанные с преобразованием длин отрезков, площадей фигур, объемов тел, величин углов.

Начинать знакомство с предельной аналогией следует на примере планиметрических задач, составляя в дальнейшем их стереометрические аналоги. Это связано с тем, что, во-первых, к началу изучения стереометрии, после трехлетнего курса планиметрии, учащиеся более готовы к восприятию задач на плоскости, во-вторых, на плоскости легче показать различные предельные преобразования, в-третьих, при решении большинства стереометрических задач выделяются плоскости (содержащие грань тела, сечение тела и т.д.), на которых проводится дальнейшее решение, т.е. стереометрическая задача сводится к планиметрической.

Задача 2.1. Дана трапеция ABCD (рис. 2.16, а). Будет ли получаться геометрическая фигура, отличная от первоначальной, если длина основания ВС трапеции ABCD стремится к нулю, а расстояния между точками А, В и D не изменяются?

Решение. Предельное преобразование, описанное в условии задачи, предполагает изменение трапеции следующим образом: точки А, В и D не меняют своего положения относительно друг друга, а точка С движется по прямой ВС к точке В. В итоге получается треугольник A'B'D' (рис. 2.16, б).

Рис. 2.16

Организуя учебную деятельность учащихся при решении первых задач указанного типа, мы реализуем синтетический метод поиска ответа на вопрос задачи. При этом целесообразно использовать метод эвристической беседы в форме диалога.

Поскольку ранее учащиеся сталкивались с задачами, для которых характерны статичные чертежи, то у школьников отсутствует навык построения чертежей к задачам, предусматривающим динамику в их условии, а следовательно, и в чертеже. При выполнении чертежа полезно предложить совокупность предписаний. Опишем их на примере выполнения чертежа к задаче 2.1.

  • 1. Изобразить пунктиром исходную фигуру — трапецию ABCD (рис. 2.17, а).
  • 2. Обвести сплошной линией те элементы трапеции, которые при предельном преобразовании не изменяются (рис. 2.17, б).
  • 3. Указать стрелками перемещения точек, заданные в задаче (рис. 2.17, в).
  • 4. Определить и выделить линией результат предельного преобразования для изменяющихся элементов (см. рис. 2.17, б).

Рис. 2.17

Отметим, что в дальнейшей работе, когда учащиеся уже будут знакомы с предельными преобразованиями и могут свободно их осуществлять, полезно рассмотреть уже ранее решенные задачи с позиции неоднозначности их ответов.

Поясним сказанное на рассматриваемом нами примере.

Учитель формулирует задачу следующим образом. Дана трапеция. Будет ли получаться геометрическая фигура, отличная от первоначальной, если длина одного из оснований трапеции стремится к нулю?

Учащиеся ищут ответ к данной задаче, сравнивая ее с ранее решенной, что будет полезно для формирования у них умения анализировать условие задачи. Как показала практика, наиболее распространенными решениями будут такие, когда либо точка С стремится к фиксированной точке В, либо точка В стремится к фиксированной точке С, либо точки В и С стягиваются к некоторой точке, лежащей на отрезке ВС.

Если других вариантов школьники предложить не могут, учителю необходимо «подвести» их к обнаружению таковых. Это может быть сделано с помощью наводящих вопросов, например таких:

  • • будет ли длина отрезка ВС стремиться к нулю, если точки В и С стягиваются к некоторой точке этого же отрезка (рис. 2.18, а)?
  • • будет ли длина отрезка ВС стремиться к нулю, если точки В и С стягиваются к некоторой точке прямой ВС (треугольник ADM на рис. 2.18, б)?
  • • будет ли длина отрезка ВС стремиться к нулю, если точки В и С стягиваются к некоторой точке плоскости, не лежащей на отрезке ВС (треугольники ADN, ADK на рис. 2.18, б)?
  • • не входит ли в противоречие с условием задачи то решение, которое соответствует случаю, когда точки В и С совпадут с некоторой точкой отрезка AD (рис. 2.18, в)?
  • • что происходит при данном предельном преобразовании со стороной AD трапеции ABCD?

Рис. 2.18

Подводя итог рассмотрению различных случаев, полезно предложить учащимся самостоятельно изменить условие задачи так, чтобы описанное ими предельное преобразование приводило к единственности ответа. Роль учителя при такой работе школьников заключается в том, чтобы указывать им на неточности в формулировке задачи, приводя для этого контрпримеры.

Задача 2.2. Дана трапеция ABCD (рис. 2.19, а). Будет ли получаться геометрическая фигура, отличная от первоначальной, если длина основания ВС трапеции стремится к длине другого основания и при этом выполняются условия AD = const, точки В и С скользят только по прямой ВС?

Рис. 2.19

Решение. Ответ к вопросу данной задачи однозначен: да, будет получаться фигура, отличная от первоначальной, — это параллелограмм, две стороны которого равны AD и лежат на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте исходной трапеции.

Как показал эксперимент, учащиеся, отвечая на вопрос задачи, указывают либо прямоугольник A'B'C'D' (рис. 2.19, б), либо параллелограмм A"B"C"D" (рис. 2.19, в). Если же кто-либо из школьников указал параллелограмм другого вида (например такой, у которого одна из диагоналей значительно больше другой диагонали), полезно изложить найденное решение остальным.

При решении задач, связанных с предельными преобразованиями геометрических фигур, полезно использовать различные средства наглядности. Такую работу удобно организовать с помощью компьютера, но при его отсутствии можно использовать разнообразные подручные средства.

Покажем использование одного из них на примере задачи 2.2. Поскольку при предельных преобразованиях фигур изменяются длины отрезков, а соответственно, и сами отрезки, мы такие отрезки заменяли резинками (кусочки авиационной резинки, которые можно растягивать и которые сами сжимаются).

Так, при решении данной задачи можно изобразить трапецию ABCD на классной доске так, чтобы длина ее основания AD совпадала с длиной имеющейся линейки (=50 см). Тогда, прижав один конец резинки в точке А, а другой конец — в точке В, аналогично поступив с другой резинкой, прижав при этом ее концы к точкам С и D, получим исходную трапецию ABCD. Затем, не отпуская резинок в точках А и D, поместим между точками В и С нашу линейку (ее длина равна AD) и, перемещая линейку вдоль прямой ВС, будем получать множество параллелограммов, заданных предельным преобразованием, описанным в условии задачи. Сторонами таких параллелограммов будут две резинки (стороны АВ и CD), линейка (сторона ВС) и отрезок AD, изображенный на доске.

Задача 2.3. Длины двух противоположных сторон правильного шестиугольника стремятся к нулю. К какой фигуре будет стремиться сам шестиугольник?

Решение. Поскольку в условии задачи недостаточно данных, то предельное преобразование, описанное в нем, неоднозначно. Действительно, если шестиугольник остается правильным, то в ответе получается точка. Если шестиугольник преобразуется в другую геометрическую фигуру, то надо определить, какие его элементы изменяются и как изменяются, а какие элементы остаются неизменными.

Мы предлагали данную задачу учащимся в том виде, в котором она приведена выше. Учащиеся, отвечая на вопрос о том, влияют ли на ответ к задаче различные комбинации пар противоположных сторон правильного шестиугольника, приходят к отрицательному ответу, так как шестиугольник является правильным и самосовмещается при повороте вокруг центра симметрии на угол, кратный 60°.

Пусть дан правильный шестиугольник ABCDMN (рис. 2.20, а). Длины двух его противоположных сторон стремятся к нулю. Пусть, для определенности, АВ —> 0 и MD —»0. Случай, когда шестиугольник остается правильным, школьники не выделили, в самом распространенном решении указывался ромб B'C'D'K' (рис. 2.20, б). Вероятно, такой результат обусловлен мысленным удалением отрезков АВ и MD и «склеиванием» ломаных АКМ и BCD.

Рис. 2.20

Однако наша задача имеет не единственное решение. На рис. 2.21, ав представлены некоторые из возможных случаев, каждый из которых удовлетворяет условию АВ —» 0 и MD —> 0.

Рис. 2.21

Если школьники сами не могут найти различные варианты преобразования геометрической фигуры, удовлетворяющее условию задачи, то следует их показать им. В случае данной задачи целесообразно проанализировать, удовлетворяет ли каждый чертеж из представленных на рис. 2.21 условию, описанному в задаче. Более сильным учащимся целесообразно указать и тот случай, когда шестиугольник стягивается в точку.

После того как школьники осознали недостаточность данных в условии задачи, полезно его доопределить. Приведем один из вариантов доопределения, соответствующий рис. 2.20, б.

Задача 2.3'. Длины двух противоположных сторон правильного шестиугольника стремятся к нулю. К какой фигуре будет стремиться сам шестиугольник, если длины остальных его сторон и углы, образованные этими сторонами, остаются неизменными?

Работу по доопределению условия задачи можно организовать по-разному:

  • • учитель предлагает варианты, учащиеся принимают их как верные или опровергают;
  • • ученики вместе с учителем ищут и проверяют возможные варианты;
  • • школьники сами приводят варианты доопределения, учитель контролирует их правильность;
  • • одни учащиеся формулируют задачу, а другие проверяют единственность ответа к ней.

На следующих двух примерах покажем методику обучения учащихся решению задач, в которых рассматриваются предельные преобразования фигур, связанные с изменением их площадей.

Задача 2.4. Как будет изменяться площадь прямоугольника, если его ширина стремится к нулю, а длина остается постоянной?

Решение. В результате предельного преобразования, описанного в условии задачи, получается отрезок, длина которого равна длине изменяемой фигуры — прямоугольника. Однако могут быть и другие решения, мы их продемонстрируем ниже.

Для решения данной задачи (и подобной ей) целесообразно рассмотреть различные подходы.

Первый подход (его можно назвать геометрическим). Изобразим изменяемую фигуру — прямоугольник. Исходя из того что его ширина стремится к нулю, учащиеся показывают стрелками перемещение точек и строят полученную фигуру — отрезок. Площадь же отрезка можно принять равной нулю.

Рассматриваемое нами предельное преобразование школьники трактовали как «сжатие» прямоугольника. Чтобы представить его себе, учащиеся клали на столе четыре карандаша «колодцем» (два карандаша кладутся параллельно друг другу, другие два кладутся сверху, перпендикулярно уже лежащим) и сближали два карандаша, параллельно лежащие. При этом возможны следующие варианты: или один из карандашей остается на своем месте, а другой приближается к нему, или двигаются оба карандаша.

Такие действия школьников с карандашами показывают им неоднозначное положение получаемого отрезка на плоскости, а также могут явиться предпосылкой такого решения задачи: длины всех сторон исходного прямоугольника остаются постоянными, изменяется его высота за счет того, что прямоугольник «складывается», т.е. сначала из него получается параллелограмм (рис. 2.22, а), а затем отрезок (рис. 2.22, б).

Рис. 2.22

Поэтому следует дополнить, уточнить условие задачи, и это можно сделать, например, следующим образом.

Задача 2.4'. Как будет изменяться площадь прямоугольника, если длины его противоположных сторон стремятся к нулю, а длины двух других противоположных сторон остаются неизменны?

Покажем другой подход к решению рассматриваемой нами задачи (его можно назвать аналитическим). Известно, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = ab, где S — площадь прямоугольника; а и b — соответственно его длина и ширина.

Если в этой формуле подставить вместо b значение ширины, к которому она стремится, то получим S = а ? 0 = 0.

Учащимся можно предложить и такую запись: limS = Пта Ь-а -0-0.

Ь-> 0 Ь-> о

Отметим, что при использовании на первых порах аналитического метода решения задач, подобных данной, ведущая роль принадлежит учителю, а на последующих занятиях школьники справляются с подобным решением задач самостоятельно.

Анализируя данную задачу (и подобные ей), полезно решить и такие задачи, в которых рассматривается обратная зависимость элементов в условии (нижеприведенная задача) или другие предельные значения величин.

Задача 2.5. Будет ли ширина прямоугольника стремиться к нулю, если его площадь стремится к нулю?

Решение. Ответить однозначно на вопрос задачи «Да» или «Нет» невозможно, поскольку, с одной стороны, площадь прямоугольника (рис. 2.23, а) будет стремиться к нулю за счет того, что его ширина стремится к нулю (рис. 2.23, б), а с другой — если длина прямоугольника стремится к нулю, то его площадь также стремится к нулю (рис. 2.23, в).

Рис. 2.23

Как показали наши исследования, большинство школьников способны самостоятельно ответить на вопрос задачи. Поэтому им целесообразно предложить подумать над решением такой задачи, в которой существует взаимно однозначная зависимость линейных и квадратных единиц измерения. Более сильным учащимся полезно предложить перечислить те преобразования прямоугольника, при которых его площадь стремится к нулю.

Укажем такие случаи, их три: 1) длина прямоугольника стремится к нулю, а ширина не изменяется (или ширина не стремится к бесконечности и не стремится к нулю); 2) ширина прямоугольника стремится к нулю, а длина не изменяется (или длина не стремится к бесконечности и не стремится к нулю); 3) длина и ширина прямоугольника стремятся к нулю.

Отметим особенности аналитического решения данной задачи. Учащиеся выражают ширину прямоугольника через его площадь и находят соответствующий предел. Пусть S, а, b — соответственно площадь, длина и ширина прямоугольника, тогда

Исходя из такой записи ответ к данной задаче вполне очевиден: ширина прямоугольника будет стремиться к нулю, если его площадь стремится к нулю. Однако данный предел определен, если а Ф 0 или а Ф оо, т.е. дать утвердительный ответ к задаче можно лишь при условии, что длина прямоугольника остается величиной постоянной или величиной, которая изменяется, но при этом не стремится к бесконечности и не стремится к нулю.

Отметим, что раскрытие неопределенностей вида или

не изучается в курсе средней школы, поэтому подробно рассматривать аналитическое решение данной задачи целесообразно только с сильными, продвинутыми учащимися.

При анализе решения данной задачи полезно решить и другие задачи, связанные с предельными преобразованиями площадей. Например, можно предложить учащимся ответить на вопрос следующей задачи.

Задача 2.6. Как будет изменяться площадь круга, если его радиус стремится к нулю?

Решение. Если радиус круга стремится к нулю, то его площадь также будет стремиться к нулю. Это легко показать (полезно, если это будут делать учащиеся), если в формулу площади круга S = пг2 подставить предельное значение его радиуса: lim S = Игл яг2 = л-02 =0 . Или, задей-

г-> 0 г-> 0

ствуя наглядность, можно изображать окружности, уменьшая их радиус и заштриховывая внутреннюю часть, в итоге получая точку.

Полезно предложить учащимся рассмотреть и другие предельные значения радиуса круга, а также изменение радиуса круга при изменении его площади, изменение площади круга при изменении длины его границы — окружности и др.

Покажем методику работы учащегося при решении задачи, в которой предельные преобразования связаны с изменениями величин углов.

Задача 2.7. Величина острого угла ромба стремится к нулю. Определите, к каким значениям стремятся величины остальных углов ромба и длины его диагоналей, если длины сторон ромба остаются постоянными.

Решение. При поиске решения данной задачи, целесообразно использование наглядных пособий. Нередко в своей практике мы предлагали учащимся использовать детский конструктор, из деталей которого они собирали модели геометрических фигур. Так, ромб состоял из четырех равных «отрезков», соединенных попарно болтами.

Рассуждения учащихся при решении данной задачи можно описать так. Пусть дан ромб ABCD (рис. 2.24, а) со стороной, равной т. Будем уменьшать его угол А. В некоторый момент времени получим ромб A'B'C'D' (рис. 2.24, б), стороны которого равны сторонам ромба ABCD. Уменьшая далее угол А, получим в итоге отрезок А"С" (рис. 2.24, в), длина которого равна 2т.

Рис. 2.24

Таким образом, величина второго острого угла ромба будет стремиться к нулю, а величины двух тупых углов ромба будут стремиться к 180°. Длина одной из диагоналей ромба ABCD будет стремиться к нулю, а длина другой диагонали — к значению, равному 2т.

Покажем это аналитически. Для этого сначала выразим искомые элементы ромба ABCD через его сторону АВ, равную т, и угол А, величину которого обозначим а, затем найдем соответствующие пределы при а —» 0:

Знакомить учащихся с предельными преобразованиями мы начинали на примере плоскостных фигур, а затем полученные знания переносили на примеры предельных преобразований пространственных фигур. Ознакомление школьников с предельными преобразованиями геометрических фигур сопровождалось созданием и расширением списков пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии.

Учителю целесообразно как предлагать самому задачи, связанные с предельными преобразованиями пространственных геометрических фигур, так и организовывать деятельность учащихся, в результате которой такие задания формулировались бы самими учащимися (методику работы с задачей, для которой составляются ее аналоги, мы рассматриваем в следующем пункте).

В процессе работы, направленной на знакомство учащихся с предельными преобразованиями геометрических фигур, нами предлагались и такие задания, в которых указывалась исходная фигура и фигура, полученная в результате предельного преобразования, которое необходимо описать. Покажем формулировку такого задания на следующем примере.

Задача 2.8. Опишите такое предельное преобразование куба ABCDFMNK (рис. 2.25, а), результатом которого становятся его элементы: квадрат MNKF, отрезок GO, отрезок AM, прямоугольник MNDA, призма AGBDOC, призма AFBDKC, тетраэдр KFND (рис. 2.25, б), фигура FMNABCD (рис. 2.25, в).

Рис 2.25

Итак, мы рассмотрели лишь некоторые примеры задач первой группы, в эксперименте же были использованы и другие задачи.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>