Полная версия

Главная arrow Информатика arrow ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Стандартные планы

Многие планы экспериментов в настоящее время стандартизованы. Они имеются в справочниках, математических пакетах программ и системах моделирования. Однако исследователь должен быть готов при необходимости к модификации имеющихся стандартных планов, т.е. приспособлению их к специфическим условиям своих конкретных задач.

С полным факторным экспериментом мы уже знакомы. Это, как отмечалось ранее, самый информативный план, понятный по структуре, но и самый неэкономичный. Поэтому ПФЭ применяют тогда, когда число факторов невелико. В приведенном примере 4.1 при к = 5, q = 2, р = 6000, tp = 2/60 = 1/30 мин затраты времени на проведение компьютерного эксперимента ожидаются равными 106 ч.

Поэтому актуальной становится проблема более или менее обоснованного сокращения плана эксперимента (числа наблюдений). Способов сокращения плана и, следовательно, уменьшения затрат времени на проведение экспериментов, много, но все они в конечном счете основаны на пренебрежении эффектами парных, тройных и более взаимодействий факторов. Естественно, это снижает точность моделирования, но во многих случаях допустимо.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.2

Необходимо провести эксперимент с моделью, имеющей три двухуровневых фактора, с целью построения математической модели (вторичной модели) процесса в виде

Уравнение имеет восемь коэффициентов, следовательно, достаточно провести восемь наблюдений. Это уравнение соответствует ПФЭ типа N = 23.

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты bv b2, Ь3, соответствующие так называемым линейным эффектам (их также называют главными), но и коэффициенты Ь12, Ь13, Ь23, Ь123, соответствующие всем эффектам взаимодействия факторов, а также свободный член Ь0.

Эффекты взаимодействия двух и более факторов проявляются, если влияние каждого из них на отклик зависит от уровней, на которых установлены другие факторы.

Теперь допустим, что число наблюдений в эксперименте, равное восьми, неприемлемо и план надо сократить.

Вполне естественно предположить, что эффекты взаимодействия оказывают на реакцию системы существенно меньшее влияние, чем линейные, или даже отсутствуют вовсе, если факторы обладают свойством независимости.

Исключим их, и тогда модель процесса (уравнение отклика, уравнение реакции, вторичная модель) принимает вид

Теперь число неизвестных коэффициентов Ь( сократилось вдвое и число необходимых наблюдений для их определения стало равно четырем.

Что это за наблюдения?

Четыре наблюдения достаточны для проведения ПФЭ при двухфакторной модели N = 22. Этими факторами, например, могут быть хь х2 или другая двухфакторная комбинация из трех факторов.

Уровни третьего фактора х3 получают из первых двух с помощью так называемого генерирующего соотношения:

Поскольку факторы двухуровневые, то в общем виде уровни путем перехода к безразмерной системе координат принято обозначать так:

  • • верхний уровень — +1;
  • • нижний уровень--1.

Новый, сокращенный план эксперимента называют полурепликой и обозначают 23-1. План приведен в табл. 4.1.

Таблица 4.1

План ПФЭ 22

№ п/п

*0

План ПФЭ 22

*3=*l'*2

Отклик у,-

*1

*2

1

1

-1

-1

+1

У

2

1

+1

-1

-1

У2

3

1

-1

+1

-1

Уз

4

1

+1

+1

+ 1

У 4

Единичный столбец х0 обеспечивает вычисление свободного члена Ь0 в модели объекта (процесса).

Таким же образом можно проводить дальнейшее сокращение планов типа 2fc_1, получая четвертьреплики 2к~г и более мелкие реплики.

Естественно, такое сокращение числа экспериментов приводит к «огрублению» коэффициентов Ь,. Следовательно, полученную модель процессау =f(x) нужно проверять на адекватность.

Рассмотренное планирование является основой и составной частью для разработки более сложных — несимметричных многоуровневых планов.

Не менее часто целью экспериментов является проверка разного рода гипотез о природе сравниваемых объектов, например однородны ли выходы двух систем в смысле законов распределения, характеристик этих законов. Поскольку обработка данных эксперимента ведется методами дисперсионного анализа, то и планы в данном случае называются планами дисперсионного анализа. Сущность дисперсионного анализа мы рассмотрим в следующей главе.

Планы дисперсионного анализа могут быть полные, если используются все возможные сочетания условий (аналогично ПФЭ), и неполные, которые применяются тогда, когда полные планы оказываются громоздкими и неэкономичными. Сокращение дисперсионных планов происходит, как и ранее, за счет исключения некоторых сочетаний факторов (взаимодействий) и уровней случайным или традиционным образом.

Наиболее популярным из неполных планов является «латинский квадрат». Этот план целесообразно применять, когда из всех существенных факторов можно выделить один доминирующий (самый существенный) фактор. Все факторы должны варьироваться на одинаковом числе уровней. Латинские квадраты можно накладывать друг на друга, образуя греко-латинские квадраты.

В планах дисперсионного анализа часто факторы обозначают латинскими буквами Л, В, С,..., а уровни — индексами при соответствующих факторах: Аь А2, Bv

Пример 4.3

Построить план «латинский квадрат» симметричного трехфакторного четырехуровневого эксперимента. Доминирующий фактор — А.

Решение

Исходные данные: к = 3, q = 4.

Введем обозначения факторов и уровней:

А1; А2, А3, А4 — уровни доминирующего фактора А;

В j, В2, В3, В4 — уровни фактора В;

Сь С2, С3, С4 — уровни фактора С.

План приведен в табл. 4.2.

Таблица 4.2

План «латинский квадрат»

Уровни В

Уровни С

Cj

С2

С3

С4

Bi

^3

а4

В2

^2

^3

а4

^1

В3

^3

а4

^2

В4

а4

л5

^2

^3

В этом плане число наблюдений JV = 4 • 4 = 16. В полном плане их было бы N = 43 = 64. Сокращение произошло за счет исключения некоторых комбинаций: A1B2Cl,AiB2C2 и др. План позволяет получить несмещенные оценки главных эффектов.

Планы латинских (греко-латинских) квадратов используются в тех случаях, когда требуется оценить влияние факторов, варьируемых более чем на двух уровнях, и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или ими можно пренебречь. Имеются таблицы различных размеров, но не существует греко-латинского квадрата для шести уровней.

В практике планирования экспериментов встречаются и такие неполные планы: один из факторов меняет свои значения при фиксированных значениях других (т.е. исследуется поочередно влияние каждого фактора в отдельности).

Иногда применяются и так называемые рандомизированные планы. В таких планах сочетания факторов и уровней для каждого прогона модели выбираются случайно. Вид случайности и объем выборки определяются исследователем.

Когда используется выборка меньшая, чем требует полный факторный эксперимент, плата за это осуществляется смешиванием эффектов. Исследователь, измеряя один эффект, не может сказать, это главный эффект или эффект взаимодействия. Например, если в GPSS World проводится ПФЭ типа N = 25 = 32 (с пятью факторами А, В, С, D, Е), то будут выданы в результате моделирования 32 эффекта: главные эффекты и эффекты всех возможных взаимодействий. Если же мы проведем вместо ПФЭ сокращенный эксперимент типа N = 23 = 8, то получим следующие восемь эффектов:

В приведенном примере вследствие сокращения плана эксперимента невозможно различить, например, главный эффект от фактора А или эффект взаимодействий факторов DE = BCD = АВСЕ. Как видно, то же самое происходит и с эффектами взаимодействий факторов, например нельзя отличить эффект взаимодействия факторов АС от взаимодействий факторов BD = ABE = CDE.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>