Действительная числовая ось и система координат на плоскости - синтез алгебры и геометрии

Итак, на первых порах (в историческом ракурсе) соотношение между геометрией и алгеброй было таково, что, образно говоря, геометрия «подпитывала» алгебру. Однако положение изменилось со времен Блеза Паскаля и Рене Декарта (XVII в.), когда алгебра «начала отдавать долги». С этого момента па службу геометрии были привлечены новые алгебраические методы. Вкратце наломним суть дела, в основном известную из курса школьной математики.

Действительная числовая ось

На прямой зададим направление (слева направо), точку О (начало отсчета) и единичный отрезок (масштаб) (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Прямая, обладающая перечисленными свойствами, называется действительной числовой осью.

Действительная числовая ось реализует взаимно-однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел {М) <=> R в том смысле, что каждому числу х е R соответствует некоторая точка М числовой оси и, наоборот, каждой точке М числовой оси ставится в соответствие число х е /?, являющееся ее координатой на этой числовой оси. Записывают: М(х).

Положительная координата х выражает расстояние d от точки М до начала координат: d = х. Если координата отрицательная, то d = - х.

В связи с этим напомним понятие модуля действительного числа:

Таким образом, геометрический смысл модуля числа х в обоих случаях заключается в том, что он выражает расстояние от точки М до начала координат.

Для двух точек Мхх) и М2(.г2), лежащих на числовой оси (рис. 1.8), можно определить расстояние между ними по формуле:

и координату точки М0, которая делит пополам отрезок МХМ2, по формуле:

Рис. 1.8

Читателю предлагается самостоятельно убедиться в справедливости обеих формул при любом расположении данных точек на оси.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >