Числовые последовательности: определения и примеры

Для точного выражения того общего, что присуще этим и другим многочисленным примерам, в которых события происходят одно за другим, следует прибегнуть к более обобщенному, формальному — математическому — языку, ибо именно числа — первооснова математики — дают возможность охарактеризовать различные по своей природе явления единообразным способом, выражающим их сущность.

А. Определение 4.1. Конечное или бесконечное множество занумерованных чисел, расположенных в порядке возрастания их номеров, называется числовой последовательностью. Составляющие ее числа называются членами последовательности.

Таким образом, это определение устанавливает связь между конкретным числом (членом последовательности) и его местом в последовательности.

Будем записывать бесконечную числовую последовательность следующим образом:

Член последовательности, имеющий номер пу т.е. ипУ называется общим членом последовательности.

Обычно предполагается, что если последовательность конечная, то ип это ее последний член; в случае бесконечной последовательности ип это произвольный член последовательности.

Примеры последовательностей:

  • 1. 1, 2, 3,..., п,... — натуральный ряд чисел образует бесконечную последовательность. Здесь ип = п: их = 1, и2 = 2, и3 = 3,...
  • 2. 2, 4, 6,..., 2п,... — четные числа также образуют бесконечную последовательность, ип = 2п: иЛ =2,и2= 4, и3 = 6,...

В этих примерах последовательность задана и не составляет труда записать выражение общего члена. Чаще всего последовательность определяется заданием формулы ее общего члена, в котором индексу п надлежит придавать значения из натурального ряда чисел.

3. Общий член ип = 2п - 1 определяет последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 2/2 — 1, ... Это можно было

бы представить в виде таблицы:

п

п = 1

/7 = 2

/7 = 3

ип = 2/7-1

ил = 1

и2 = 3

«з = 5

4. Если ип = п2, то имеем: 1, 4, 9,..., я2,... Это последовательность квадратов натуральных чисел. Ее можно также представить в виде таблицы:

п

/7=1

/7 = 2

/7 = 3

и„ = rfi

и{ = 1

и2 = 4

м3 = 9

Построим на плоскости последовательность точек Мп М{, М2, М3, ..., отвечающую этой числовой последовательности (рис. 4.1).

- и 1 1 1 1 1 ^

э. Если ип= — } то получим: 1, —, —, ..., —,... Это последова-

п 2 3 п

тельиость чисел, обратных натуральным числам (рис. 4.2).

Рис. 4.1

  • 6. Если ип = 2п ~ то имеем: 1, 2, 4,2п ~ ...
  • 7. Если ип = (—l)w+1, то получаем: 1, -1,1, -1,..., (-1)я+1,... (рис. 4.3).

Можно придумать сколько угодно последовательностей; для этого нужно каждый раз задавать общий член некоторой формулой.

Определим свойства, позволяющие классифицировать последовательности щ9 и2, и3,ип,...

Определение 4.2. Последовательность называется возрастающей {убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего.

В вышеприведенных примерах пять последовательностей возрастающие, одна — убывающая и одна не является ни убывающей, ни возрастающей.

Определение 4.3. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число Л/, что ип < М при любом значении п и ограниченной снизу, если существует такое число т, что ип > т при любом значении п.

Читателю рекомендуется самостоятельно решить вопрос об ограниченности сверху или снизу приведенных выше последовательностей.

Б. Среди числовых последовательностей выделяются прогрессии (progressus, лат. — движение вперед, от низшего к высшему).

1. Напомним, что арифметическая прогрессия — это такая числовая последовательность, общий член который задается формулой

Число d называют разностью прогрессии; при п = 1 имеем ах = а. Согласно формуле общего члена арифметическая прогрессия имеет вид:

Рис. 4.3

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Отметим, что при d > О, арифметическая прогрессия — возрастающая, а при d < 0 — убывающая (при d = 0 имеем последовательность одинаковых чисел).

Замечаем, что в приведенных выше примерах три первые последовательности являются возрастающими арифметическими прогрессиями, а остальные последовательности арифметическими прогрессиями не являются.

Выведем формулу для вычисления суммы 5„ первых п членов арифметической прогрессии:

С этой целью сложим эту сумму почленно с суммой тех же чисел, но записанных в обоатном порядке:

Получим

Оказывается, что во всех скобках стоит одна и та же величина: ал+а„.

Например,

Поскольку число таких слагаемых равно п, получаем:

Это приводит к следующей формуле для суммы п членов арифметической прогрессии

Пример 4.1

Найти сумму первых 100 натуральных чисел.

Решение

Натуральный ряд чисел образует арифметическую прогрессию, в которой а = d= 1. Поскольку в нашем примере ах = 1, а]00 = 100, п = 100, находим:

С этой задачей в раннем детстве легко справился великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.

2. Напомним, что геометрическая прогрессия — это такая числовая последовательность, общий член которой задается формулой

Число q называют знаменателем прогрессии; при п = 1 имеем Ь = Ь.

В приведенных выше примерах шестая и седьмая последовательности являются геометрическими прогрессиями.

Укажем один из важных случаев: при Ь> 0, 0 < q < I — геометрическая прогрессия убывающая.

Выведем формулу для вычисления суммы Sn первых п членов произвольной геометрической прогрессии:

Имеем:

Умножая обе части этого равенства на q:

и затем вычитая из второго равенства первое (при этом большинство членов взаимно уничтожаются), получаем следующее соотношение-

Отсюда один шаг до искомой формулы[1] суммы п членов геометрической прогрессии:

В. Для сравнения последовательностей, возрастающих по законам арифметической и геометрической прогрессий, обратимся к примерам.

  • [1] Эта формула содержится в 9-ой книге «Начат» Евклида.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >