Бином Ньютона

Общий член рассмотренной последовательности

является частным случаем бинома (т.е. двучлена) Ньютона:

(а + Ь)п.

При небольших значениях п выражения такого вида часто встречаются в школьном курсе математики. Хорошо известны формулы:

при п = 2: (й + b)2 = й2 + 2ab+ b2, при п = 3: (й + b)3 = й3 + 3a2b+3ab2 + 63, правые части которых представляют собой разложения бинома Ньютона в многочлены второй и третьей степени. Эта закономерность сохраняется при произвольном п. Коэффициенты в разложении бинома Ньютона могут быть определены с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Например, 6-я строка (при п = 5) в треугольнике Паскаля дает возможность сразу написать следующее разложение: (а + Ь)5 = а5 + 5аЛЬ + 10 а3Ь2 + 10 а2Ь3 + 5 аЫ + Ь5.

Понятие о числовых рядах

В математике и ее приложениях часто встречаются символические бесконечные суммы следующего вида:

Такие выражения называются числовыми рядами, а числа щ, и2, и3,ип,... называются членами ряда. С числовым рядом мы фактически уже встречались, когда рассматривали сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Обычно наряду с числовым рядом рассматривают последовательность его частичных (т.е. конечных) сумм (в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы так и поступали):

Если эта последовательность имеет (конечный) предел:

то его называют суммой ряда, в этом случае записывают:

и говорят, что данный ряд сходится. В противном случае говорят, что ряд расходится. Та же терминология применяется и к соответствующим последовательностям частичных сумм.

Например, ряд

расходится. Читателю рекомендуется убедиться в этом самостоятельно, предварительно составив последовательность соответствующих частичных сумм Sn.

Зная последовательность частичных сумм ряда, легко восстанавливается и сам ряд:

Таким образом, между числовыми рядами и числовыми последовательностями имеется тесная связь.

По отношению к каждому числовому ряду возникают два вопроса: сходится он или расходится и далее, если сходится, то какова его сумма. Приведем (без доказательства) один из признаков сходимости или расходимости числовых рядов.

Пусть все члены ряда

положительные числа. Обозначив отношение ^JL^- = vn,

ип

предположим, что последовательность vn имеет предел:

Тогда имеет место следующий признак Даламбера: если v < 1, то ряд сходится, а если v > 1, то ряд расходится. Применим этот признак к следующему ряду:

где п! (читается: эн-факториал) равно произведению: п! = 1 • 2 • 3 •... * п. В нашем случае имеем:

1 1

поэтому vn =— и lim vn = lim — = 0. Следовательно, данный

Н П—>°° /I—о /2

ряд сходится.

Что касается суммы этого сходящегося ряда, то доказано, что она равна числу е:

Сохранив в левой части конечное число слагаемых, можно получить значение числа е с любой точностью. Например,

В математике рассматриваются не только числовые, но и функциональные ряды. Для их изучения необходимо прежде всего разобраться детально с понятием функции - этому и будут посвящены следующие главы книги.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >