Бином Ньютона
Общий член рассмотренной последовательности
является частным случаем бинома (т.е. двучлена) Ньютона:
(а + Ь)п.
При небольших значениях п выражения такого вида часто встречаются в школьном курсе математики. Хорошо известны формулы:
при п = 2: (й + b)2 = й2 + 2ab+ b2, при п = 3: (й + b)3 = й3 + 3a2b+3ab2 + 63, правые части которых представляют собой разложения бинома Ньютона в многочлены второй и третьей степени. Эта закономерность сохраняется при произвольном п. Коэффициенты в разложении бинома Ньютона могут быть определены с помощью так называемого треугольника Паскаля:
Например, 6-я строка (при п = 5) в треугольнике Паскаля дает возможность сразу написать следующее разложение: (а + Ь)5 = а5 + 5аЛЬ + 10 а3Ь2 + 10 а2Ь3 + 5 аЫ + Ь5.
Понятие о числовых рядах
В математике и ее приложениях часто встречаются символические бесконечные суммы следующего вида:
Такие выражения называются числовыми рядами, а числа щ, и2, и3,ип,... называются членами ряда. С числовым рядом мы фактически уже встречались, когда рассматривали сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Обычно наряду с числовым рядом рассматривают последовательность его частичных (т.е. конечных) сумм (в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы так и поступали):
Если эта последовательность имеет (конечный) предел:
то его называют суммой ряда, в этом случае записывают:
и говорят, что данный ряд сходится. В противном случае говорят, что ряд расходится. Та же терминология применяется и к соответствующим последовательностям частичных сумм.
Например, ряд
расходится. Читателю рекомендуется убедиться в этом самостоятельно, предварительно составив последовательность соответствующих частичных сумм Sn.
Зная последовательность частичных сумм ряда, легко восстанавливается и сам ряд:
Таким образом, между числовыми рядами и числовыми последовательностями имеется тесная связь.
По отношению к каждому числовому ряду возникают два вопроса: сходится он или расходится и далее, если сходится, то какова его сумма. Приведем (без доказательства) один из признаков сходимости или расходимости числовых рядов.
Пусть все члены ряда
положительные числа. Обозначив отношение ^JL^- = vn,
ип
предположим, что последовательность vn имеет предел:
Тогда имеет место следующий признак Даламбера: если v < 1, то ряд сходится, а если v > 1, то ряд расходится. Применим этот признак к следующему ряду:
где п! (читается: эн-факториал) равно произведению: п! = 1 • 2 • 3 •... * п. В нашем случае имеем:
1 1
поэтому vn =— и lim vn = lim — = 0. Следовательно, данный
Н П—>°° /I—о /2
ряд сходится.
Что касается суммы этого сходящегося ряда, то доказано, что она равна числу е:
Сохранив в левой части конечное число слагаемых, можно получить значение числа е с любой точностью. Например,
В математике рассматриваются не только числовые, но и функциональные ряды. Для их изучения необходимо прежде всего разобраться детально с понятием функции - этому и будут посвящены следующие главы книги.
