График функции

Напомним, что в трехмерном пространстве три взаимно перпендикулярные числовые оси Ox, Оу, Oz с совмещенными началами отсчета в точке О и с одинаковым масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат. Проходящие через пары координатных осей плоскости хОу, yOz, zOx называются координатными плоскостями. Трехмерное пространство с заданной системой координат называется координатным пространством (рис. 9.4).

Каждой точке М трехмерного координатного пространства ставится в соответствие тройка ее декартовых координат (д, у, z) и это соответствие взаимное. На чертеже видно, как по данной точке определить ее координаты и как по координатам построить точку.

Выведем формулу для длины отрезка ОМ (т.е. формулу расстояния от точки М до начала координат). Для прямоугольного треугольника ОРМ сформулируем теорему Пифагора: OP2 + РМ2 = ОМ2, или: (х2 + у2) + г2 = ОМ2.

Теперь нетрудно получить формулу для длины отрезка ОМ, равной расстоянию от точки М до начала координат:

Если функция z = f(x, у) задана, то в ее области определения каждой точке Р(х, у) отвечает определенное значение функции (в этом смысле говорят о функции точки: z = f(P)). Множество всех точек, задаваемых тройкой координат вида (х, у, f(x, у)), образует поверхность, которая называется графиком функции z = f(x, у). График — это геометрический образ функции, по которому можно наглядно судить о ее важнейших свойствах.

В трехмерном координатном пространстве построим графики некоторых функций.

1 рафиком люоои линейной функции является плоскость. В данном примере она проходит через прямую х + + у = 4 в плоскости хОу (линию уровня этой функции при С = 0, см. рис. 9.1) и точку (0; 0; 4). Фрагмент этой плоскости показан на рис. 9.5.

Рис. 9.4

Рис. 9.5

Преобразовав это уравнение возведением в квадрат обеих его частей, получаем:

Множество точек М, координаты (х, у, z) которых удовлетворяют этому уравнению, удалены на одно и то же расстояние 2 от начала ординат и, следовательно, лежат на сфере радиуса 2 с центром в начале координат. Поэтому графиком данной функции (с учетом условия г > 0 ) служит верхняя полусфера (рис. 9.6).

Рис. 9.6

После очевидного преобразования получаем уравнение окружности в плоскости yOz радиуса 2 с центром в начале координат:

С учетом требования г>0 ограничимся верхней полуокружностью, по которой искомая поверхность пересекает координатную плоскость yOz. Но аналогичная полуокружность будет при произвольном значении х, т.е. во всех плоскостях, параллельных плоскости yOz, ибо координата х в уравнение не входит и не влияет на зависимость между у и z. Поэтому графиком функции является бесконечная поверхность, которая получается движением этой полуокружности вдоль оси Ох, т.е. верхняя часть бесконечного цилиндра. Его фрагмент представлен на рис. 9.7.

Рис. 9.7

Поверхность, которая служит графиком этой функции, имеет вид параболической чаши, расположенной над плоскостью хОу и касающейся ее в начале координат. Эта бесконечная поверхность называется круговым параболоидом (рис. 9.8).

Предлагаем читателю убедиться самостоятельно, что графиком этой функции является бесконечный круговой конус с вершиной в начале координат (рис. 9.9).

Рис. 9.9

Встретившиеся здесь поверхности: плоскость, сфера, цилиндр, параболоид, кош/с — детально изучаются в более подробных руководствах по аналитической геометрии. В математическом анализе они важны, прежде всего, как примеры, иллюстрирующие понятие графика функции двух аргументов и показывающие, сколь многообразны возможности, ожидающие тех, кому предстоит этим заниматься в математике и в прикладных задачах.

В связи с этим нелишне еще раз отметить полезность построения линий уровня при исследовании функций двух переменных. Не имея перед глазами графика функции (т.е. поверхности в пространстве), по характеру расположения линий уровня (на плоскости) можно на глазок, но с большой достоверностью, сделать важное заключение о том, в каком направлении функция двух переменных возрастает и в каком убывает, и даже судить о скорости возрастания и убывания в разных направлениях. Например, чем плотнее, т.е. ближе одна к другой, расположены в некотором направлении линии уровня с возрастающим значением функции, тем быстрее возрастает эта функция в данном направлении.

Линии уровня (под разными названиями) используются при изучении различных природных явлений. На географических картах (т.е. на плоскости) вычерчиваются, по сути, аналогичные линии: горизонтали — соединяющие точки с одинаковой высотой земной поверхности над уровнем моря, изобаты — соединяющие точки с равными морскими глубинами, изобары — точки, в которых в данный момент одно и то же атмосферное давление, изогеотермы — соединяющие точки земной коры, обладающие одинаковыми температурами, и многие другие.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >