Аналитические аспекты функции двух переменных

Далее нам предстоит перенести основные понятия математического анализа: предел, непрерывность, дифференцируемость, известные по функциям одного переменного (см. гл. 6, 7), на функции двух переменных.

Предел и непрерывность

В основе понятия непрерывности функции лежит идея близости двух значений функции при близости соответствующих значений аргументов, другими словами, близким точкам Pt, Р2 должны соответствовать близкие значения функции: z1 = f (РД и 22=/(Р2) или, в координатах, zi = ЛхьУ) и z2 = f (Х2'У'2)• Разумеется, интуитивно ожидаемая связь между близостью точек и близостью соответствующих значений функции нуждается в строгом математическом выражении.

Зафиксируем точку Р{. Назовем 5-окрестностью точки Pj круг с центром в этой точке и радиусом 5 (рис. 9.10).

Рис. 9.10

Основополагающими являются следующие определения.

Определение 9.1. Число b называется пределом функции /(Р) при Р(х, у), стремящемся к Рх (лг1, у{), если для любого сколь угодно малого е > 0 существует такая 8-окрестность точки Pj, зависящая от в, что для всех ее точек разность между значением /(Р) и числом b по модулю меньше в.

Следующая символическая запись выражает это определение:

Определение 9.2. Функция /(Р) называется непрерывной в точке Pj, если число b =/(Р,):

т.е. если предел функции совпадает со значением функции в предельной точке.

В координатной символике это определение непрерывности принимает следующий вид:

Если рассмотреть приращения аргументов и функции:

то определению непрерывности можно придать еще одну, важную для дальнейшего формулировку.

Функция /(х, у) называется непрерывной при х = хь у = ух, если бесконечно малым приращениям обоих аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции г = /(*> У)-

По сути, непрерывность функции в данной точке Рх означает, что по мере приближения переменной точки Р к точке Рх разность между значениями функции в этих точках неограниченно убывает и стремится к нулю.

Из многообразных вариантов стремления переменной точки Р к точке Рх особый интерес представляют два частных случая, когда перемещение точки Р происходит параллельно координатным осям Ох или Оу. При этом один из аргументов изменяется, а значение второго аргумента постоянное, т.е. его приращение тождественно равно нулю. Соответствующее приращение функции называют частным приращением, в отличие от полного приращения — в общем случае. При таком подходе функция /(х, у) оказывается функцией одного аргумента: только х, если Ау = О, или только у, если Дх = 0.

С этого момента, задавая фиксированную точку, откажемся от индексов и будем писать просто /(Р) или /(х, у). Для значения функции в произвольной близкой точке применим обозначения: f(x + Ах, у + Ау). При фиксированных х, у фактически изменяющимися аргументами становятся Дх и Ду. Тогда полное приращение и оба частных приращения функции выразятся как функции Дх, Ду следующим образом.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >