Частные производные и полный дифференциал

Распространим понятие производной (см. гл. 7) на функции двух аргументов. По определению, частное приращение Ах z в данной точке Р(х, у) определяется при постоянном значении у и зависит лишь от Дх. Фактически мы оказывается в условиях, сходных с теми, когда имеют дело с функцией одного переменного. Поэтому оправданно следующее.

Определение 9.4. Предел отношения частного приращения Ах z к приращению Ах, когда приращение Ах стремится к нулю, называется частной производной функции z = = /(х, у) по аргументу х в точке Р(х, у):

Частную производную по .г обозначают также символами z'x,f'x{x,y).

Аналогично определяется частная производная функции z =/(х, у) по аргументу у в точке Р(х, у):

Частную производную по у обозначают также символами zy,f'y{x,y).

На первых порах для вычисления частных производных новой техники не требуется, так как в обоих случаях фактически мы имеем дело с производной функции одного аргумента.

Одним из важнейших понятий в дифференциальном исчислении функций двух аргументов является полный дифференциал.

Определение 9.5. Полным дифференциалом функции z = /(х, у) в точке Р(х, у) называется линейное относительно приращений аргументов Ах и Ау выражение следующего вида:

Вычисление частных производных и полного дифференциала функции называется дифференцированием.

Значимость дифференциала в математической теории и в приложениях определяется тем, что в случае непрерывности частных производных в точке Р(х, у) он выражает главную часть полного приращения функции в том смысле, что отличается от него на величину бесконечно малую высшего порядка по сравнению с бесконечно малым расстоянием между точками Р(х, у) и Р(х+Ах, уу). Это свойство дифференциала используется, в частности, для приближенного вычисления значений функции в точках, близких к точке Р(х, у), путем замены полного приращения функции на ее полный дифференциал.

Задача 9.1

Вычислить приближенное значение произведения 0,985 • 1,034.

Решение. Рассмотрим функцию f(x,y) = х5 ? уА.

При х =1,|/ =1 имеем /(1,1) = 1514 =1.

Искомое число можно считать значением этой функции при х = 0,98, у = 1,03:

Принимая Ах = - 0,02, Ау = 0,03 и вычисляя /’д.(1,1) = 5, f'y( 1,1) = 4, находим:

Точное значение искомого произведения (найденное, например, на калькуляторе) равно 1,01971, т.е. погрешность не превышает 0,0003.

Примечание. Рекомендуем читателю самостоятельно решить эту задачу другим способом. Полагая /(х, у) = u(x)v(y), где и(х) = х5, v(y) = уА, можно искать приближенные значения приращений каждого из сомножителей в отдельности, применяя дифференциалы функций одного аргумента (см. гл. 7). Сравните полученные результаты.

Геометрический смысл дифференциала состоит в том, что плоскость, задаваемая уравнением:

соприкасается с поверхностью, служащей графиком функции z = f(x, у), в окрестности точки М(хи уj,/(xj, ух)) более тесно, чем любая другая плоскость, проходящая через эту точку. Она называется касательной плоскостью.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >