Частные производные и дифференциал второго порядка

Поскольку каждая из частных производных, в свою очередь, является функцией двух аргументов, то можно ставить задачу их дифференцирования.

Определение 9.5. Частная производная частной производной функции 2 = f(x, у) называется частной производной 2-го порядка данной функции, или просто второй производной (частные производные, взятые по разным переменным, называются смешанными частными производными):

Замечание. В случае непрерывности смешанных производных они равны:

Задача 9.2

Найти частные производные и дифференциалы первого и второго порядка функции z = arctg— в точке Р( 1).

х

Дифференциал второго порядка есть дифференциал от полного дифференциала (первого порядка); он имеет следующий вид:

Решение.

В общем виде

Дифференцирование сложных функций

Выше было отмечено, что техника дифференцирования функций двух аргументов в основных чертах повторяет приемы дифференцирования функций одного аргумента. Более трудоемким является дифференцирование сложных функций.

Для функций двух аргументов рассмотрим понятие сложной функции, г.е. функции от функций. Пусть имеем функцию z = f(x, у), где аргументы х и у, в свою очередь, являются функциями аргументов и и v: х = х(и, v), у = у(и, v). Тогда переменная z в конечном счете будет функцией от и и v

Частные производные функции z по аргументам uwv находятся по следующим формулам