Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

Для адекватного математического представления сигналов с ограниченным спектром во временной области было введено понятие «аналитический сигнал», основанное на использовании преобразования Д. Гильберта.

Аналитический сигнал. С помощью формулы Эйлера представим гармоническое косинусоидальное колебание единичной амплитуды суммой двух комплексно-сопряженных функций: cosco? = 0,5(e;to' + e~j).

Возможность такого представления позволяет и произвольный физический сигнал u(t) с известной спектральной плотностью 5(со) записать (через обратное преобразование Фурье) в виде суммы двух составляющих, каждая из которых содержит либо только положительные, либо только отрицательные частоты:

В теории сигналов функцию

из представления (2.132) стали называть аналитическим сигналом, отвечающим вещественному (физическому) сигналу u(t).

Заметим, что аналитический сигнал zu(t), описываемый формулой (2.133), есть комплексный сигнал, сформированный из вещественного сигнала u(t).

Теперь проведем некоторые преобразования первого из интегралов в правой части формулы (2.132). Заменив переменную Q = -со и проделав несложные выкладки в виде обратного преобразования Фурье, приходим к равенству

где z*u(t) — сигнал, комплексно-сопряженный с аналитическим сигналом zw(?).

Нетрудно заметить, что формула (2.132) устанавливает следующую связь между физическим u(t) и аналитическим zu(t) сигналами:

Преобразования Гильберта. Еще более упростить анализ узкополосных сигналов позволяют преобразования Гильберта. Представим произвольный сигнал u(t) как произведение двух функций (по формуле (2.121)):

т.е. выделим его амплитудную огибающую U(i) и полную фазу |/(?). Способов сделать это очень много, поскольку одной функции u(t) необходимо поставить в соответствие набор из двух функций U(t) и i(t). Однако такое представление должно удовлетворять нескольким ограничениям по огибающей и фазе:

  • • абсолютное значение (модуль) сигнала u(t) в любой момент времени не превышает значений огибающей: U(t) > u(t);
  • • касательные, проведенные к кривым U(t) и u(t) в тех точках, где предыдущее неравенство превращается в равенство, совпадают, что означает равенство их производных;
  • • малым изменениям u(t) соответствуют малые изменения U(t);
  • • необходимо, чтобы для анализируемого гармонического сигнала обязательно выполнялось равенство комплексной (2.124) и физической огибающих Uu(t) = | Uu(t) | = U и полная фаза |/(?) = со0t + ср(?);
  • • полная фаза и мгновенная частота не должны зависеть от мощности сигнала, т.е. со(?) = со0.

Разумно требование, что полная фаза не должна меняться при умножении или делении сигнала на произвольный постоянный коэффициент. С учетом этих требований способ выделения амплитудной огибающей и полной фазы из произвольного сигнала оказывается единственным: эта операция производится с помощью преобразования Гильберта. Несложные вычисления по формуле (2.134) дают равенство u(t) = Rezw(?)-

Мнимую составляющую аналитического сигнала u(t) = Imzu(f) называют сопряженным по Гильберту сигналом (сопряженным сигналом) по отношению к физическому колебанию u{t).

Физический сигнал u(t) и сопряженный ему сигнал ii(t) ортогональны:

где Т — период следования физического сигнала.

Действительную и мнимую части аналитического сигнала называют квадратурными составляющими.

Итак, аналитический сигнал можно представить через физический и сопряженный но Гильберту сигналы в виде суммы

Очевидно, что аналитический сигнал на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось равна исходному сигналу u(t).

Согласно прямому преобразованию Гильберта сопряженный сигнал связан с физическим следующим уравнением:

Обратное преобразование Гильберта от сопряженного сигнала u(t) дает физический сигнал

Символическая их запись имеет вид

С помощью физического и сопряженного по Гильберту сигналов легко определить огибающую Uu(t), полную фазу yu(t) и мгновенную частоту сом(?) физического сигнала u(t):

Дифференцирование соотношения (2.138) после предварительного возведения в квадрат обеих его частей:

в точках соприкосновения, где дает равенство производных

т.е. в точках соприкосновения сигнал и его огибающая совпадают и имеют одинаковые скорости изменения. Отсюда и название огибающей для функции Uu(t).

Поскольку аналитический сигнал является комплексной функцией, на комплексной плоскости он отображается вектором, вращающимся против часовой стрелки с опорной частотой со0; при этом его модуль и фазовый угол изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось комплексной плоскости в любой момент времени равна физическому сигналу u(t).

Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при переходе к переменной t = т +jx функция zu(t) = zu(x + jx), определяемая в соответствии с формулой (2.133) интегралом

является аналитической функцией для всех х > 0.

Нетрудно заметить, что прямое преобразование Гильберта (2.136) представляет собой свертку сигнала u(t) и функции 1 /(тсt). Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами (такие системы описаны в гл. 4). Из этого следует, что можно легко определить комплексный коэффициент передачи преобразования Гильберта

Из формулы (2.141) следует, что АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой частоты, т.е. преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90° (коэффициент j), в области отрицательных частот — увеличиваются на 90° (коэффициент -j). Можно показать, что результат преобразования Гильберта (2.136) есть реакция линейной системы с импульсной характеристикой 1 /(nt) при подаче на ее вход сигнала u{t).

Формально способ получения сопряженного сигнала с помощью прямого преобразования Гильберта (2.136) можно представить себе следующим образом. Исходное физическое колебание u(t) подается на вход некоторого устройства, которое осуществляет поворот фаз всех его спектральных составляющих на угол -90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя при этом их амплитды. По существу преобразователь Гильберта должен представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазовый сдвиг, равный 90°. Устройство, обладающее подобными свойствами, в теории связи называют квадратурным фильтром.

Пример 2.12

Определим сигнал, сопряженный с гармоническим колебанием u(t) = cos со0t. Запишем выражение для аналитического сигнала.

Решение

Результаты можно получить непосредственно из формулы прямого преобразования Гильберта (2.136). Для этого, введя новую переменную х = т - t и осуществив несложные преобразования, запишем

Из курса математики известно, что

Тогда после подстановок этих значений получаем, что гармоническому колебанию u{t) = cos со/ соответствует сопряженный по Гильберту сигнал u(t) = sin со/, проходящий через нуль тогда, когда значение физического сигнала максимальное.

Из полученных вычислений легко заметить, что прямое преобразование Гильберта обеспечивает необходимый выбор мнимой части комплексного сигнала для гармонического колебания u(t) = cos со/. Операция сдвигает все гармонические составляющие сигнала по фазе на ±п/2 и удаляет постоянную составляющую.

Если в соотношение (2.135) подставить физический и сопряженный сигналы, то для гармонического колебания u(t) = cos со/ аналитический сигнал равен

По аналогии с решенным примером нетрудно убедиться в том, что синусоидальному колебанию u(t) = sin со/ соответствует сопряженный сигнал вида u(t) = -cos со/.

Также можно записать и аналитический сигнал для данного колебания:

Если исходный физический сигнал состоит из суммы гармонических колебаний (без постоянной составляющей), т.е.

то сопряженный сигнал будет

Ряд (2.142) называется сопряженным ряду (2.143).

Пример 2.13

Задано простое гармоническое колебание единичной амплитуды u(t) = cos со/. Определим его огибающую, полную фазу и мгновенную частоту.

Решение

Огибающая исходного сигнала согласно формуле (2.138)

равна его амплитуде и не зависит от времени.

Полную фазу заданного сигнала определим по формуле (2.139):

а мгновенную частоту — но формуле (2.140):

Из примера 2.13 следует, что нахождение физической огибающей, полной фазы и мгновенной частоты гармонического сигнала с помощью преобразования Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.

Ввод аналитического и сопряженного сигналов не позволяет получить каких-либо новых сведений о физическом сигнале u(t). Однако они значительно расширяют систематические методы исследования узкополосных процессов.

Спектральная плотность аналитического сигнала и комплексной огибающей. Сравненим амплитудные спектры аналитического сигнала и комплексной огибающей (рис. 2.59). Положим, что ^(со) — спектральная плотность физического сигнала u(t) (рис. 2.59, а). Введем функцию ZM(со), связанную с аналитическим сигналом zu(t) прямым преобразованием Фурье

и являющуюся спектральной плотностью аналитического сигнала.

Аналитический сигнал получают добавлением к вещественному сигналу u(t) сопряженной его части в виде преобразования Гильберта: zu(t) = u(t) + ju(t).

. А

Обозначим через 5(со) спектральную плотность сопряженного сигнала u(t). Тогда в силу линейности прямого преобразования Фурье спектральная плотность аналитического сигнала запишется как сумма Амплитудные спектры

Рис. 259. Амплитудные спектры:

а — вещественного сигнала; 6 — аналитического сигнала; в — комплексной огибающей

Учитывая, что преобразование Гильберта является линейным и его коэффициент передачи определяется формулой (2.141), находим

Равенство (2.144) выполняется тогда, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:

Полученный результат (2.144) весьма интересен. В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом дополнительного фазового сдвига в 90°, вносимого множителем j) складываются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спектры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. Таким образом, спектральная плотность аналитического сигнала равна удвоенному значению спектральной плотности физического сигнала и находится в области только положительных частот, т.е. оказывается односторонней (рис. 2.59, б).

Найдем спектральную плотность комплексной огибающей Yu(со) сигнала u(t). Для этого используем связь аналического сигнала zu(t) и комплексной

огибающей Uu(t): zu(t) = Uu(t)e^ot. Очевидно, что Uu(t) = zu(t)e Тогда

Итак, спектральная плотность комплексной огибающей представляет собой сдвинутую на со0 спектральную плотность аналитического сигнала. Спектр комплексной огибающей не обязательно симметричен относительно нулевой частоты.

Задан низкочастотный физический сигнал u(t) с равномерной спектральной плотностью 50 в полосе частот -сов < со < сов (рис. 2.60, а). Определим физический и сопряженный с ним сигналы.

К примеру 2.14

Рис. 2.60. К примеру 2.14:

а — спектр физического сигнала; 6 — физический (/) и сопряженный (2) сигналы

Решение

Согласно формуле (2.133) аналитический сигнал

Выделив вещественную и мнимую составляющие аналитического сигнала, находим вещественный сигнал

и сопряженный ему

Временные диаграммы физического (1) и сопряженного (2) сигналов приведены на рис. 2.60, 6 для случая

Результаты примера 2.14 отражают одно из основных свойств преобразования Гильберта: если в момент времени t исходный сигнал u(t) достигнет экстремума, то в окрестности этой точки сопряженный ему сигнал пройдет через нуль.

Одно из простейших и в тоже время очень важных свойств преобразований Гильберта — линейность:

при любых постоянных коэффициентах ах и а2, в чем можно убедиться непосредственно.

Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала. Пусть известна спектральная плотность Yu(со) комплексной огибающей Uu(t) узкополосного сигнала u(t), имеющего опорную (центральную) частоту со0. Согласно соотношению (2.131) спектр этого сигнала

Нетрудно заметить, что первое слагаемое в правой части уравнения соответствует области частот со > 0, второе -со < 0. Тогда на основании формулы (2.145) спектральная плотность сопряженного сигнала

Как следует из последней формулы, спектральная плотность комплексной огибающей сопряженного сигнала

Следовательно, узкополосному сигналу соответствует также узкополосный сопряженный сигнал.

В последние годы методы, связанные с понятием аналитического сигнала и преобразованиями Гильберта, имеют широкое распространение в теории связи.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >