Использование обводного канала для управления с обратной связью колебательным объектом

Сложность решения задачи управления определяется сложностью модели объекта. Если модель объекта такова, что на выходе объекта даже при малых входных сигналах формируется несколько колебаний различных частот с нарастающими амплитудами, то управление таким объектом может оказаться довольно сложным. Модели некоторых объектов могут по внешнему виду математической записи различаться несущественно, но при этом расчет регулятора для одних таких объектов может быть крайне простым, а для других — чрезвычайно сложным.

В данной главе предлагается использовать простой ПИД-регулятор вида (2) (как в структуре по рис. 2.2), дополненный обводным каналом [4—6], который включается параллельно объекту управления, как показано на рис. 10.21. Эта структура по виду аналогична структуре с предиктором Смита, но математическая модель обводного канала рассчитывается иначе, поэтому обводной канал более гибок, предиктор Смита можно рассматривать как частный случай более широкого подхода, именуемого обводным каналом.

Структура системы с обводным каналом

Рис. 10.21. Структура системы с обводным каналом

Предиктор Смита может быть реализован лишь при условии, что объект содержит звено чистого запаздывания, например передаточная функция объекта равна произведению двух функций:

При этом первый сомножитель определен, например, соотношением

(10.6):

где тип — порядок числителя и знаменателя, а второй сомножитель имеет вид

Уравнение предиктора Смита в этом случае имеет следующий вид [49]:

Нетрудно видеть, что суммарная передаточная функция двух каналов, т.е. канала объекта и канала предиктора Смита, в сумме равна передаточной функции вида (10.6) и свободна от сомножителя вида (10.7). Действительно,

Исходя из этого, можно считать, что предиктор Смита позволяет скомпенсировать влияние запаздывания на работу контура стабилизации. Все же ситуация не столь хороша, как следует из соотношения

(10.9). Во-первых, выходной сигнал сумматора, который суммирует выходной сигнал объекта с выходным сигналом предиктора Смита, все же не является выходным сигналом объекта (и системы), поэтому устойчивость системы в целом не гарантирует качественного переходного процесса. Этот недостаток относится и к системе с использованием обводного канала, что учитывается в дальнейших исследованиях. Во-вторых, если в модели объекта нет запаздывания, то W2C-s) = 1, откуда следует, что WpS(s) = 0, т.е. предиктор Смита не может быть применен.

Обводной канал, предложенный в работах [50, 51], вычисляется на основе следующих принципов:

  • 1) низкочастотная часть частотной характеристики этого канала должна быть намного ниже низкочастотной части частотной характеристики объекта;
  • 2) высокочастотная часть частотной характеристики этого канала должна быть намного больше высокочастотной части частотной характеристики объекта и при этом быть такой, чтобы замкнутый контур был устойчив с наилучшим качеством.

Данный метод разработан для случая, когда АЧХ объекта на некоторых частотах резко уменьшается по величине и ФЧХ, начиная с некоторых частот, резко возрастает по величине. В этом случае обеспечение устойчивости затруднительно. Обводной канал, имея большую по величине АЧХ в высокочастотной области, оказывает решающее значение на устойчивость, поскольку по сравнению с выходным сигналом этого канала выходным сигналом объекта в высокочастотной области можно пренебречь. Это позволяет обеспечить устойчивость контура управления даже в том случае, когда частотная характеристика объекта в наибольшей степени не соответствует требованиям к ней для обеспечения устойчивости и качества управления. Таким образом, контур остается устойчивым. Вместе с тем, поскольку АЧХ обводного канала пренебрежимо мала по сравнению с АЧХ объекта в низкочастотной области, то в этой области присутствие обводного канала не сказывается. Сигнал на выходе сумматора в данной области частот в основном определяется выходным сигналом объекта.

Новейшая концепция обводного канала расширяет эти требования до следующего набора:

  • 1) требование 1 сохраняется полностью;
  • 2) требование 2 модифицируется до следующего требования: «Передаточная функция обводного канала делается такой, что ее сумма с передаточной функцией объекта дает объект, управление которым в контуре с отрицательной обратной связью успешно обеспечивается любым из методов, например методом численной оптимизации регулятора».

Данная модификация этого требования более широка. В исходной концепции обводной канал достраивает только высокочастотную часть передаточной функции объекта до такой передаточной функции, которая более удобна для синтеза эффективного регулятора. В новой концепции обводной канал может содержать любые слагаемые, которые в сумме с передаточной функцией объекта дадут новую передаточную функцию, более удобную для управления, причем эти слагаемые не обязательно относятся только к высокочастотной части модели объекта.

Таким образом, в данной главе предложен модифицированный подход к проектированию системы с использованием обводного канала. В частности, одним из возможных способов расчета передаточной функции обводного канала может быть следующий алгоритм:

  • 1) сначала отыскивается желаемая передаточная функция WD(s), т.е. функция, наиболее близкая к передаточной функции объекта, но более удобная для проектирования регулятора;
  • 2) вычитанием передаточной функции объекта из полученной желаемой передаточной функции получается предварительная передаточная функция обводного канала

3) если полученная передаточная функция не слишком удобна для реализации, то окончательный ее вид может быть получен с помощью некоторого упрощения при соблюдении следующего правила: если в некотором частотном диапазоне полученная в п. 2 передаточная функция намного меньше, чем передаточная функция объекта (в 30 раз и более), то в этой области частот ее можно изменять произвольно при условии сохранения данного свойства, т.е. чтобы эта функция оставалась намного меньше передаточной функции объекта (в 30 раз и более).

Пример 10.5. Рассмотрим объект, передаточная функция которого имеет вид рациональной дроби в области преобразований Лапласа [61]:

Если все коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе были бы положительны, объект мог оказаться довольно простым для управления. Но и в этом случае сочетание коэффициентов может быть таким, что управление данным объектом усложнится. Если же среди коэффициентов имеются нулевые и тем более отрицательные коэффициенты, как в формуле (10.11), то проектирование регулятора может оказаться крайне сложным. В нескольких публикациях исследуется возможность решения задачи управления объектом (10.11), а его передаточная функция названа сложной, например в работах [61, 62]. Сложность объекта состоит в том, что при численной оптимизации регулятора в итоге получается система, склонная к обратному перерегулированию. Но и прямое перерегулирование также велико. Оба этих вида перерегулирования крайне нежелательны. В работе [62] борьба с обоими видами перерегулирования осуществляется путем повышения порядка регулятора, где наряду с первой производной используются вторая, третья и даже четвертая производная ошибки. Это чрезвычайно усложняет регулятор, а кроме того, как показано в этой статье, дифференцирование резко подчеркивает шумы, вследствие чего его можно осуществлять лишь в строго ограниченной полосе частот. Данный метод также недостаточно эффективен, хотя и очень сложен. Предварительными исследованиями выяснено, что наиболее неблагоприятный фактор в модели объекта вида (10.11) — это отрицательный знак коэффициента полинома в числителе. Если знак перед членом в первой степени заменить на противоположный, то проектирование регулятора методом численной оптимизации дает удовлетворительный результат. Из этого следует, что в качестве передаточной функции обводного канала может служить дробная функция, знаменатель которой совпадает со знаменателем передаточной функции объекта, а в числителе стоит «+2s». Отсутствие в числителе свободного члена автоматически приводит к удовлетворению первого условия, поскольку в области низких частот значение такой передаточной функции асимптотически стремится к нулю.

Пример 10.6. Осуществим расчет регулятора высокого порядка для объекта из примера 10.5 на основе указанного принципа с обводным каналом. Пусть регулятор наряду с пропорциональным и интегральным каналами включает каналы высших производных, с первой по четвертую включительно. Соответствующая структурная схема для моделирования и оптимизации в программе VisSim показана на рис. 10.22. Получаемый переходный процесс представлен на рис. 10.23.

Структурная схема системы с ПИД-регулятором

Рис. 10.22. Структурная схема системы с ПИД4-регулятором

Важно отметить, что процесс на выходе сумматора, который суммирует выходной сигнал объекта и выходной сигнал обводного канала, не существенен для оценки качества системы. Это всего лишь сумма реального и виртуального сигналов. Важен выходной сигнал объекта. Поэтому хотя система достаточно успешно осуществляет управление составным объектом, содержащим наряду с реальным объектом и обводной канал, результат следует оценивать по переходному процессу на выходе объекта. Из анализа сигнала на рис. 10.23 очевидно, что выходной сигнал составного объекта характеризуется высоким качеством, а именно: перерегулирование не превышает 10%, отличие этого сигнала от единичного скачка несущественно, т.е. ошибка почти полностью равна нулю после 12-й секунды от начала переходного процесса. При этом обратное перерегулирование отсутствует, а обратное отклонение от предписанного значения после первого положительного перерегулирования также не превышает 10%. Переходный процесс на выходе реального объекта намного менее привлекателен, а именно перерегулирование составляет 40%, обратное перерегулирование отсутствует, но обратное отклонение составляет около 85%. Второе обратное отклонение немногим меньше 20%, второе перерегулирование немногим меньше 10%.

Переходные процессы в системе по рис. 10.22

Рис. 10.23. Переходные процессы в системе по рис. 10.22:

линия 1 — суммарный выход; линия 2 — выход объекта

Длительность переходного процесса при этом более 30 с. Все же достоинство этого метода состоит в том, что результат получен достаточно легко, обратное перерегулирование отсутствует полностью (можно говорить о запасе около 15%, т.е. выходная величина не достигает своего стартового значения на величину 15%, что позволяет говорить о надежном и достоверном отсутствии обратного перерегулирования). К недостаткам этого решения следует отнести излишнюю сложность регулятора, поскольку в этом случае наряду с ПИД-регулятором четвертого порядка, т.е. с ПИД4-регулятором, дополнительно применяется обводной канал пятого порядка.

Пример 10.7. Рассмотрим решение этой же задачи этим же путем при использовании простого ПИД-регулятора [60]. При этом используем при расчете стоимостной функции не сигнал виртуальной ошибки ?(f), который вычисляется путем вычитания из сигнала задания выходного сигнала составного объекта, а сигнал фактической ошибки который специально вычисляется для этих целей путем вычитания из сигнала задания фактического выходного сигнала объекта. Структурная схема для этого случая не показана, поскольку все модификации ее понятны из текста. Получаемый переходный процесс изображен на рис. 10.24. Видно, что в результате сигнал на выходе составного объекта, как и сигнал на выходе фактического объекта, не изменились по основным параметрам. В данном случае время моделирования увеличено, чтобы продемонстрировать наглядно, то по истечении 40 с оба переходных процесса практически сливаются, ошибка управления близка к нулю, так как выходной сигнал объекта близок к единице.

При использовании промежуточных видов регуляторов, а именно ПИД2 и ПИД3, результаты приблизительно совпадают. В отношении результата с простейшим вариантом, т.е. с ПИД-регулятором, можно сделать вывод о том, что полученный регулятор практически не уступает по своим параметрам всем рассмотренным выше регуляторам, хотя намного проще и не требует даже второго порядка дифференцирования. Этот регулятор намного проще рассчитывать, процедура его численной оптимизации почти самоочевидна с учетом идеи его проектирования, изложенной в трех тезисах выше.

Переходные процессы в системе по примеру 10.7

Рис. 10.24. Переходные процессы в системе по примеру 10.7:

линия 1 — суммарный выход; линия 2 — выход объекта

Для сравнения на рис. 10.25 показан переходный процесс, полученный в статье [62] для системы с этим же объектом. Данный процесс явно хуже, поскольку перерегулирование составляет 60% (в нашем результате — только 40%), длительность процесса в обоих случаях одинакова, обратное перерегулирование составляет 10% (в нашем результате оно отсутствует, обратное движение немногим превышает 80%, тогда как обратное перерегулирование — это обратное движение на величину более 100%, в процессе на рис. 10.25 оно соответственно равно 110%).

Переходные процессы в системе с тем же объектом в соответствии со статьей [62]

Рис. 10.25. Переходные процессы в системе с тем же объектом в соответствии со статьей [62]

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >