Некоторые понятия вариационного исчисления

Вариационным исчислением называется раздел математики, изучающий экстремумы функционалов (см. подразд. 5.1). К задачам об определении экстремума функционала приводят многие задачи практики: изопериметрическая задача, задача о геодезической линии. Толчком к развитию вариационного исчисления послужила задача о брахистохроне, решенная И. Бернулли. Если две точки, не лежащие на одной вертикали и на одном уровне, соединить семейством кривых, то тяжелая материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести, затратит на спуск определенное время, зависящее от формы выбранной кривой. Можно сказать, что для этой задачи определен функционал, а построение кривой наискороейшего спуска — брахистохроны — сводится к нахождению минимума этого функционала. Многие физические и механические процессы развиваются таким образом, что для них можно сформулировать принцип минимальности.

Определение функционала. Если каждой функции у(х) из некоторой совокупности функций М, которая принадлежит в свою очередь некоторому функциональному пространству S, поставлено в соответствие определенное число J, то говорят., что на множестве М С S задан функционал J = J(y(x)). Совокупность функций М, на которой определен функционал, называется областью определения функционала.

В классическом вариационном исчислении в качестве функционального пространства, на котором определен функционал, используется линейное нормированное пространство Сп[а,Ь], п = 0,1,____

Оно состоит из функций у(х), имеющих на отрезке [а, Ь] непрерывные производные у^(х) до порядка п включительно.[1]

Норма в этом пространстве для задач вариационного исчисления вводится обычно как

Если говорить нестрого, то функционал можно определить как функцию от функции. В этом случае в качестве аргумента выступает не переменная, а функция от независимого переменного, принимающего значения из определенного промежутка своего изменения, а сама функция-аргумент является произвольно выбираемой функцией из определенной совокупности — области определения функционала.

Экстремум функционала. Если задана некоторая кривая у = = уо{х) и на ней определено значение функционала J(yo(x)), то представляет интерес, как будет изменяться это значение, если мы будем варьировать кривую.

Говорят, что функционал J(y(x)) достигает на кривой у = = уо(х) локального (или относитель'ного) минимума (максимума), если значения функционачПа на любой кривой, близкой к у = уо{х), будут не меньше, чем J(yo{x))> т.е. A J = J(y(x)) - J(yo{x)) ^ 0.

Если при этом AJ = 0 только при у(х) = Уо(х), то говорят, что на кривой у = уо(х) функционал достигает строгого минимума. Аналогичное определение можно дать и максимуму, достигаемому на кривой.

Простейшая задача вариационного исчисления. Пусть функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам. Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следующим образом. Требуется среди всех функций у(х)С [а, 6], удовлетворяющих граничным условиям у(а) = уо, у(Ь) = у, найти ту функцию, на которой достигается слабый экстремум функционала

Другими словами, задача состоит в отыскании на множестве гладких кривых, проходящих через две заданные точки Мо(а, у о) и Mi(,i/i), той кривой, на которой заданный функционал достигает слабого экстремума.

Важность решения определяется тем, что экстремум функционала означает минимизацию или максимизацию некоторого свойства системы, математическое описание которого привело к постановке этой задачи. Конкретное ее содержание определит вид подынтегральной функции этого функционала. Позже мы рассмотрим построение ряда практически важных задач, постановка которых связана именно с конкретными физическими или математическими проблемами.

Необходимое условие экстремума функционала. Прежде всего выскажем некоторые соображения самого общего характера о необходимом и достаточном и их взаимоотношении. Если мы хотим выделить из числа многих такой объект, который обладает интересующими нас особыми свойствами, то это может вызвать трудности из-за достаточно специфического вида этих свойств. Однако можно расширить их круг так, чтобы интересующие нас свойства заведомо принадлежали ему, а сам новый круг свойств позволял осуществить достаточно легкую классификацию объектов. Если назвать такие свойства необходимыми, то в числе обладающих ими будут и интересующие нас объекты. Действенность такого подхода состоит в том, что круг объектов с необходимыми свойствами будет достаточно узок и в нем мы легко выделим те, которые обладают интересующим пас набором свойств.

Особое место занимают необходимые условия в задачах нахождения экстремальных значений. Для функции одного переменного необходимое условие экстремума состоит в равенстве нулю ее производной. Такие точки — точки стационарности — легко устанавливаются, но в их числе будут и точки максимумов, и локальных минимумов, и некоторые точки перегиба. Однако их количество будет ограничено и установить точку глобального минимума можно достаточно просто.

Необходимое условие экстремума функционала устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы функционал

определенный на классе функций у(х) Е С [а, Ь, удовлетворяющих граничным условиям у (а) = уо, у(Ь) = у, достигал на да}той у(х) слабого экстремума, необходилю, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера:

Этой теоремой задача определения экстремума функционала (10.1) сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (10.2).

Экстремум функционала, зависящего от функции нескольких независимых переменных. Классическое вариационное исчисление строилось для функционалов, минимум которых определялся для функций одного независимого переменного. Впоследствии методы вариационного исчисления были распространены и на другие функции, в частности функции многих независимых переменных. Именно это расширение и представляет для нас интерес.

Для таких функций функционал имеет вид

Введем для простоты обозначения

Условие минимума такого функционала определяется теоремой: если на поверхности z = z(x,y) реализуется экстремум функционала, то функция z = z(x, y) удовлетворяет уравнению Эйлера - Остроградского:

Здесь -7-{К,} и 4“I} так называемые полные частные дх ду

производные, которые учитывают то обстоятельство, что р и q в свою очередь зависят от х и у. В подробно расписанном виде производные представляются следующим образом:

Аналогично выписывается и другая полная частная производная. Этой теоремой задача определения минимума функционала (10.3) сводится к краевой задаче для дифференциального уравнения с частными производными (10.4).

Методы решения вариационных задач. Вариационные задачи имеют аналитическое решение лишь в очень ограниченном числе случаев, когда подынтегральная функция (называемая интеграп- том) относится к определенному виду. Поэтому особое внимание уделяется построению методов численного отыскания экстремальных значений функционалов. Условно эти методы можно разделить на две группы: непрямые и прямые. Непрямые методы основаны на использовании необходимых условий экстремума и сведении вариационной задачи к краевой. Прямые же ориентированы на непосредственное отыскание экстремума функционала без приведения вариационной задачи к краевой.

Схема решения вариационных задач сведением к уравнению Эйлера и прямым методом

Рис. 10.1. Схема решения вариационных задач сведением к уравнению Эйлера и прямым методом

И те и другие методы достаточно глубоко развиты. Возникает вопрос о возможности их приложения к задачам рассматриваемого нами круга.

  • [1] В данном случае для сокращения записи под производной нулевого порядкапонимается сама функция = у(х).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >