Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости САР, так же как алгебраические критерии, основаны на определении условия отрицательности вещественной части всех корней характеристического уравнения исследуемой системы по виду ее частотных характеристик. Хотя алгебраические и частотные критерии устойчивости вытекают из общей математической трактовки проблемы устойчивости и в этом смысле они формально равноправны, однако частотные критерии имеют более явный физический смысл и некоторые преимущества при его практическом использовании.

В 1932 г. для исследования усилителей с отрицательной обратной связью американский ученый Г. Найквист использовал частотные характеристики этого усилителя с разомкнутой обратной связью. Им был дан критерий устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики САР с разомкнутой обратной связью. Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если разомкнутая система автоматического регулирования устойчива и ее амплиту дно-фазовая частотная характеристика не охватывает точку с координатами (-1; у’О), то и в замкнутом состоянии эта система будет устойчивой. Этот критерий следует из того, что передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью имеет вид

или

Как следует из формулы (3.44), если Wjxi3(yco) = -l, то знаменатель дроби обращается в нуль и передаточная функция замкнутой системы становится равной бесконечности, что и говорит о неустойчивости САР.

На рис. 3.4, а показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивой САР, а на рис. 3.4, б — АФЧХ неустойчивой САР.

Основное преимущество частотных методов заключается в их большой наглядности, обусловленной тем, что задача исследования сводится к изучению плоской кривой, которая может быть получена либо аналитически, либо экспериментально. Экспериментальный метод получения частотных характеристик системы или ее отдельных элементов позволяет провести исследование системы, у которой неизвестны дифференциальные уравнения.

Российский ученый А. В. Михайлов обобщил критерий Найквиста и применил его в теории автоматического регулирования. В 1938 г. он предложил свой критерий устойчивости, более эффективный, чем критерий Найквиста. Критерий Михайлова позволяет оценить устойчивость системы но характеристическому уравнению замкнутой системы при замене р = у со, т.е. оценка производится по знаменателю амплитуднофазовой частотной характеристики (АФЧХ). Критерий Михайлова можно применять для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.

Амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутых САР

Рис. 3.4. Амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутых САР

С помощью критерия Михайлова устойчивость системы оценивают по расположению векторов знаменателя АФЧХ (годографа Михайлова) на комплексной плоскости.

Согласно критерию Михайлова система автоматического регулирования будет устойчивой, если при увеличении частоты со от 0 до оо вектор F(j(o) знаменателя передаточной функции W(j(o) замкнутой системы повернется на угол пп/2 (здесь п — степень характеристического уравнения) или, что то же самое, если годограф Михайлова, начинающийся на положительной части действительной оси, с ростом частоты от 0 до со обойдет последовательно в положительном направлении (против хода часовой стрелки) п квадрантов.

Годографы Михайлова

Рис. 35. Годографы Михайлова:

а — для устойчивых СДР; 6 — для неустойчивых CAP

На рис. 3.5, а изображены частотные характеристики, соответствующие устойчивым системам, описываемым уравнениями порядка п - 1,2, ..., 5, а на рис. 3.5, 6 — характеристики неустойчивых систем, описываемых уравнениями пятого порядка (п = 5).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >