Анализ устойчивости САР с транспортным запаздыванием

На практике часто встречаются системы, содержащие трубопроводы, транспортеры, т.е. звенья, передающие сигнал без искажений, но с запаздыванием во времени y(t) = x(t - т). Эти звенья называют звеньями чистого, или транспортного, запаздывания. Их передаточная функция имеет вид

где т — время запаздывания.

Условием устойчивости для САР с запаздыванием так же, как и для любой САР, является отсутствие корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью. Характеристическое уравнение линейной системы с транспортным запаздыванием из-за наличия множителя е~Рх является трансцендентным уравнением.

Поэтому для оценки устойчивости САР с запаздыванием алгебраические критерии устойчивости (по крайней мере, в их обычной форме) непригодны. Установить устойчивость системы с запаздыванием можно, пользуясь частотными критериями устойчивости. Выведенные ранее частотные критерии устойчивости справедливы и для систем с запаздыванием. В частности, можно использовать критерий Михайлова или критерий Найквиста.

При использовании критерия Найквиста АФЧХ разомкнутой системы, имеющей звено транспортного запаздывания, можно представить в следующем виде:

где W0(j(ri) — АФЧХ разомкнутой системы без учета звена транспортного запаздывания; Wx(усо) — АФЧХ звена транспортного запаздывания.

Поскольку Wx(j(ri) = e~jm, то АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием будет иметь вид

Из уравнения (3.46) следует, что наличие последовательного запаздывающего звена не изменяет амплитудную характеристику, но уменьшает фазовую функцию системы на величину, равную сот. Таким образом, график АФЧХ системы (рис. 3.6) смещается на величину угла фзв(со) относительно графика WJ}(7’co). Такая деформация характеристики приближает АФЧХ к точке на плоскости с координатами (-1; jO) и может привести систему к неустойчивости.

Пример 3.1

В системе автоматического регулирования с единичной отрицательной обратной связью прямая связь представляет собой последовательное соединение инерцион-

?

ного звена первого порядка с передаточной функцией W, (р) =-и звена с чистым

1 + 7>

запаздыванием с передаточной функцией Wx(p) = е~*п. Коэффициент усиления инерционного звена k = 10, постоянная времени Т = 0,5 с.

Определите критическое запаздывание ткр, т.е. предельное запаздывание, выше которого система становится неустойчивой.

Решение

Передаточная функция заданной разомкнутой системы будет равна

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы

Для решения задачи воспользуемся критерием Найквиста, согласно которому АФЧХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами (-1; 0), т.е. модуль АФЧХ для критической частоты будет равен единице, а фаза будет равна -л.

Найдем значение критической угловой частоты сокр, при которой модуль АФЧХ будет равен единице из формулы

Критическое время запаздывания ткр найдем из условия, что фаза (р АФЧХ для критической частоты сокр будет равна -л. Это условие записывается так:

АФЧХ САР со звеном транспортного запаздывания

Рис. 3.6. АФЧХ САР со звеном транспортного запаздывания

Отсюда

Отсюда

Таким образом, критическое время запаздывания ткр = 0,084 с.

Такой же ответ можно получить в интегрированном пакете MathCad, если воспользоваться функцией Find для решения системы уравнений и нахождения нескольких переменных:

Жирный знак равенства в системе уравнений при использовании функции Find набирается нажатием клавиш [Ctrl] + [=]. Заметим, что условие охвата точки с координатами (-1; 0) может быть записано иначе, а именно через проекции вектора на действительную и мнимую оси, т.е. через действительную и мнимую составляющие. В этом случае решение выглядит так:

Таким образом, искомые значения совпадают при всех способах решения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >