Дискретная накопительная модель в схеме сложных процентов

В гл. 5 мы рассмотрели для простых процентов некоторые модели, учитывающие поступления и изъятия средств. В этом параграфе мы начнем изучение аналогичных моделей для сложных процентов. Как мы увидим ниже, они оказываются существенно более простыми, чем в случае простых процентов.

Начнем с примера. Пусть вкладчик открывает в банке счет (например, текущий), для которого возможны как пополнения, т.е. новые поступления, так и снятие сумм со счета. В этом случае возникает понятие остатка (остаточного баланса) счета, т.е. количества денег, имеющегося в данный момент на счете. Остаток (или сальдо) счета — это некоторое его финансовое состояние. Это состояние в данный момент

времени t будем обозначать 5(г). Условимся также, что на

остаток счета ежегодно начисляются проценты по ставке, например, 10% годовых. Наконец, пусть история нашего счета описывается событиями, изображенными на рис. 9.1.

Рис. 9.1

Иными словами, в момент времени t = 0 инвестор открывает счет с начальной суммой в 400 руб., спустя год снимает со счета 100 руб., а спустя 3 года кладет дополнительно 200 руб. При этих условиях найдем состояния счета в моменты 1, 2, 3 и 4.

Решить эту задачу мы можем последовательно, прослеживая «историю» счета, начиная с нулевого момента. Так, в момент времени t = 1, т.е. в конце 1-го года, на начальную сумму счета будут начислены проценты за год в размере

и счет станет равным

Затем нужно вычесть сумму, снятую вкладчиком, т.е. остаток счета на момент времени t = 1 будет равным

С моментом времени t- 2 все ясно, поскольку S₂ есть просто накопленное за год значение S{.

Далее очевидно, что или

И наконец,

В наших рассуждениях есть одно довольно тонкое место, относящееся к понятию значения счета в данный момент времени. Оно связанно с тем, что, например, в момент времени t = 1 приходится делать одновременно две операции: начисление процентов и снятие суммы со счета. Поскольку но соглашению начисление происходит на остаток счета, то, строго говоря, следовало бы договориться о том, что понимать под остатком в момент времени t-1, когда происходит снятие суммы со счета, т.е. какая операция выполняется сначала: начисление процентов, а йотом снятие суммы или наоборот. В любом случае к моменту времени t = 1 относятся две суммы: полученная после начисления и после изъятия. Например, если, как это подразумевалось в наших вычислениях, сначала происходит начисление процентов, а потом изъятие, то возникают две суммы: 440 руб. и 340 руб., при обратном порядке — 300 руб. и 330 руб. Поэтому возникает неопределенность: каково собственно настоящее значение остатка в данный момент времени. Вопрос этот не имеет смысла без указания формального вычисления остатка для любого момента времени.

Как мы помним, аналогичные вопросы возникали и при изложении моделей с переменным капиталом для простых процентов. Там уточнение операции довложения и изъятия осуществлялось за счет разделения полного счета либо на систему субсчетов (модель мультисчета), либо на два счета (бинарная модель). Это разделение было связано с тем, что в схеме простых процентов начисление процентов осуществляется только на основной капитал, а проценты на проценты не начисляются. Это приводит к необходимости введения двух отдельных счетов — счета капиталов и счета процентов. В схеме сложных процентов в таком разделении нет необходимости, поскольку по самому смыслу сложные проценты означают начисление и на накопленные проценты, так что, но существу, имеется всего один полный счет, к которому постоянно присоединяются накопленные проценты (либо в конце периодов начисления, либо непрерывно в зависимости от модели). При этом, как отмечалось в гл. 5, мы в нашем изложении придерживаемся концепции завершенного состояния, т.е. под состоянием счета всегда понимается окончательный результат всех действий над счетом, относящихся к моменту определения его состояния.

Хотя выше мы говорили о традиционном понимании накопительного счета, когда вкладчик (инвестор) открывает счет с некоторой положительной суммой, а последующие платежи, в зависимости от знака, являются либо до- вложением (поступлением) капитала, либо его изъятием. Возможна и двойственная трактовка счета с точки зрения должника, когда счет интерпретируется как ссудный, начальное состояние — как выдача ссуды, а остальные платежи в зависимости от знака — либо как погасительные платежи, либо как дополнительные кредиты. Строго говоря, такая строгая интерпретация счета как накопительного или ссудного возможна лишь при определенном ограничении. Так, в накопительном счете изъятия не должны приводить к отрицательному (дебетовому) сальдо, а в ссудном счете погашения не должны приводить к положительному (кредитовому) сальдо. Поскольку в этих случаях семантика счета переходит в противоположную, т.е. в первом случае накопительный счет переходит в ссудный, а во втором случае, наоборот, ссудный счет переходит в накопительный. Допущение таких переходов размывает границу между счетами различных типов. В этих случаях стороны, связанные со счетом, попеременно являются кредиторами и дебиторами. Конечно, никаких формальных трудностей в анализе динамики таких счетов нет, за исключением того, что на практике смена знака счета обычно приводит к изменению ставки, поскольку дебетовая и кредитная ставки обычно различаются. Так, ставка по депозитам, которую банк платит вкладчику, обычно меньше, чем ставка по ссуде, которую банк взимает за временный овердрафт, т.е. за снятие сумм, превышающих остаток счета.

С этой ситуацией мы сталкивались при изучении счетов с переменным капиталом в схеме простых процентов (гл. 6). При этом в гл. 5 мы ограничились так называемым симметричным случаем, для которого упомянутые ставки совпадают. Наше изучение счетов с переменным капиталом для сложных процентов мы также ограничим анализом симметричного случая.

Прежде чем переходить к непосредственному описанию дискретной накопительной модели с переменным капиталом, напомним основные понятия и обозначения, связанные с определением дискретного финансового потока в его общей форме (гл. 2). В традиционном определении финансового потока как последовательности финансовых событий

мы рассматриваем лишь моменты времени, относящиеся к событиям, составляющим поток. В некоторых случаях события с нулевой суммой, т.е. события вида it-, 0), можно

считать несущественными и их можно свободно присоединять к потоку или, наоборот, удалять из него, не меняя, по существу, самого потока. Так можно поступать, например, при анализе различного типа входных и выходных потоков, относящихся к некоторому фонду. В частности, для рассмотренного выше примера вклада в банке поток посту- плений/изъятий обладает указанным свойством, т.е. отсутствие поступления или изъятия можно интерпретировать как нулевое событие.

Вернемся теперь к построению дискретной накопительной модели. Пусть

— поток платежей, порождающий некоторый счет. Говоря о порождающем счет потоке, мы имеем в виду, что нет никаких других платежей, связанных со счетом помимо платежей из потока.

Событие (?₀, С₀) будем трактовать как начальное состояние или открытие счета: 5^,(г₀) = С₀. Последующие платежи будем трактовать как внешний поток поступлений/изъ- ятий капитала. Динамика счета определяется нормированной эффективной ставкой г. Наша цель — определить состояние счета 5(г) в любой момент времени Г.

Согласно сказанному выше состояние счета в начальный момент равно 5(?₀). Дальнейшее изменение состояния счета определяется, во-первых, автономным, внутренним, процентным ростом и, во-вторых, «внешними»

платежами C_k=C(t_k J в момент времени t_k.

Динамика процентного роста была подробно изучена нами выше. В общем виде (для нормированной ставки г) она описывается уравнением

при условии, что на промежутке (t, t + /2] нет никаких поступлений или изъятий капитала. Если же на интервале (г, t + h) не было пи поступлений, ни изъятий, но в момент времени t + h на счет (или со счета) был осуществлен платеж C{t + А), го согласно принципу «завершенного состояния»

где

есть предел (слева) состояния + в точке t+h.

Равенства (9.2) и (9.3) можно записать в виде единой формулы

для любых t>t_Ql h>0 при условии, что на интервале (t, t + /z) нет платежей потока CF. Заметим, что если в момент t+h нет ненулевых платежей, т.е. С(? + Л) = 0, то формула

(9.4) переходит в формулу (9.2).

Исходя из изложенного выше, можно выписать рекуррентные уравнения, определяющие состояния счета в критические моменты времени t_k:

или в индексных обозначениях S_k

где T_k=t_k-t_k__x — длина k-vo критического промежутка. «Разворачивая» эти формулы, последовательно находим

Естественно, что состояние счета для некритического момента времени t определяется согласно формуле (9.3) состоянием в ближайший предшествующий критический момент времени t_k, если t_kk+v при этом

При решении примера, рассмотренного в начале данного параграфа, мы проделали вычисления в естественном порядке, по ходу финансовых событий в соответствии с приведенными выше рекуррентными формулами. Эти вычисления можно продолжать неограниченно и тем самым найти состояние вклада для любого будущего (целого) момента времени t. Однако, если нас интересует просто состояние счета в некоторый будущий момент времени, нам незачем находить все промежуточные состояния. Можно поступить по-другому. Для нахождения величины вклада в момент времени t достаточно определить накопленные к этому моменту времени значения всех поступлений/изъятий (с учетом знака) и полученные значения сложить. Иными словами, мы должны перенести с помощью процентной ставки все суммы к одному моменту и найти их алгебраическую сумму.

Вычислим по такому правилу состояние вклада в момент времени t = 4. Согласно этому правилу мы последовательно находим будущее значение:

— начального вклада

— первого изъятия (в момент времени t = )

— поступления (в момент времени t = 3)

Складывая эти значения, мы получим

т.е. то же значение, что и полученное ранее при последовательном вычислении.

Сказанное выше приводит нас к следующему важному определению.

Определение 1. Пусть

— некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов его будущим (накопленным) значением для момента времени t>t_vt₂,...,t_n относительно нормированной ставки i называется величина

где a = + i — нормированный коэффициент роста.

Так, для приведенного выше примера денежный поток вложений/изъятий имеет вид

Таким образом, будущее или накопленное значение потока есть просто алгебраическая сумма накопленных значений составляющих этот поток сумм:

Совершенно аналогично можно определить текущее значение потока для момента времени t" t₂, t_n.

Определение 2. Пусть

- некоторый денежный поток. Тогда в схеме сложных процентов величина

где

— нормированный дисконтный множитель, называемый текущим значением в момент времени t относительно нормированной ставки /'.

Таким образом, текущая величина потока есть просто сумма текущих значений составляющих поток сумм:

Так, для потока из рассматриваемого нами примера

Наконец, точно так же, как для отдельной суммы, можно говорить о текущем относительно заданной процентной ставки значении потока в произвольный момент времени t безотносительно к его ориентации по отношению к событиям из потока. В этом случае используется та же формула (9.11):

но уже не требуется выполнение неравенства tv t_2y ..., t_n. Например, в случае t_v t₂, ...t_kk+v ..., t_n для моментов времени t,, предшествующих моменту времени t, будут находиться будущие значения соответствующих сумм, а для моментов времени tj, следующих за этим моментом, будут находиться приведенные значения соответствующих им сумм.

Возвращаясь к потоку из нашего примера, получим

что опять не совпадает со значением S₂ = 37 А (руб.), полученным выше.

Введенные выше характеристики потока (будущая и текущая стоимости) позволяют записать состояние 5т накопительного счета, порожденного потоком CF, в виде

где

— часть потока CF_y состоящая из составляющих его событий вплоть до момента времени t включительно.

Таким образом, для нахождения состояния в момент времени t счета, порожденного потоком CF, необходимо привести к этому моменту все платежи потока, предшествующие моменту времени t, включая, естественно, и платеж в момент времени t_y если таковой имеется. Этот результат полностью аналогичен результату, полученному нами ранее для коммерческой модели накопительного счета в схеме простых процентов. Различие состоит лишь в используемой схеме процентов.

Приведенные выше определения будущих и текущих значений для потока имеют смысл лишь при указании процентной ставки, определяющей скорость процентного роста. Поскольку определение будущих и текущих значений потока зависит от ставки, строго говоря, ее необходимо указывать в выражениях для этих величин, т.е. следует писать FV_t{CF_y i) и PV_t(CF_y г). Для упрощения записи процентную ставку часто опускают в записи будущих и текущих значений, считая ее заданной по умолчанию. Однако об этом следует всегда помнить.