Главная Логика
КАТЕГОРНАЯ ЛОГИКА
|
|
||||||
ЛОГИКА В КАТЕГОРИЯХпятая. Логические исчисления в категориях предпорядка с функторамиКлассическая логика в N-категорияхЛюбое предупорядоченное множество можно рассматривать как категорию. Ее объектами будут его элементы и для любой пары объектов (а,Ь), существует не более чем одной стрелки а —> b в точности тогда, когда а < Ь. Именно подобные категории предпорядка и позволяют решить нам проблему, связанную с формулировкой классической логики с полным набором связок. Дело в том, что при попытке сконструировать дедуктивное исчисление для классической логики мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что у нас нет метода для интерпретации отрицания. В случае позитивных логик этой проблемы не возникало ввиду отсутствия отрицания, а в случае интуиционистского исчисления отрицание, как известно, может быть сконструировано с помощью константы "ложь" и импликации. Чтобы обойти эту трудность, снабдим нашу категорию предпорядка функтором, передающим свойства логической операции отрицания (см. [Riscos Laita 1987]). Выбор категорий предпорядка выгоден здесь именно тем, что в силу единственности стрелок мы сразу можем говорить и о дедуктивных исчислениях и о категориях, поскольку мы не будем нуждаться в тождествах на стрелках: все стрелки единственны. Определение 1. N-категория С представляет собой категорию предпорядка, снабженную контравариантным функтором N: С—> С, такую, что:
[Na,b] = 1 для любых двух объектов а, b из С. ![]() Заметим, что скелетом N-категории будет булева алгебра. Любая N-категория С обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами:
Дадим интерпретацию в терминах N-категорий следующему списку аксиом:
и правило модус поненс:
Заметим, что если аир суть формулы, то а v р, а л Р, -.а и а —> р также будут формулами, в то время как если а и b являются объектами в С, то [а,Ь]9 ( а,Ь )и Na тоже будут объектами, но , а -» Ъ уже представляет собой стрелку, а не объект. Так как логически а -> р эквивалентно -а v Р, то представляется естественным предложить следующий список в качестве словаря перевода высказываний в N-категории: ![]() По причине, указанной выше, псевдодополнение [Л/я,Ь] будет обозначаться как а=> Ь, так что (iv) перепишется теперь как
Данный перевод позволяет нам отождествить объекты в С и индивидуальные высказывания. Напомним, что в булевой алгебре имеет место процедура отождествления элементов алгебры и классов эквивалентных высказываний; в С эквивалентным высказываниям отвечают изоморфные объекты. Теперь процесс интерпретации аксиом и правил вывода, приведенных выше, становится ясным. Например, интерпретацией аксиомы (IV) будет следующее выражение:
Но утверждать, что это есть аксиома, равносильно тому, что сказать
что по (iv') дает нам
Осуществляя подобные преобразования, мы получаем из списка логических аксиом следующий список:
и правило модус поненс: если а = 1 и я —> 6, то 6 = 1. Характеристика как правила модус поненс, так и аксиомы (XII) очевидна. Рассмотрим теперь алгебраические свойства N-категорий. Введем с этой целью понятие N-функтора. Его определение будет выглядеть следующим образом: Определение 2. Пусть С и С' будут две N-категории (с функторами N и N' соответственно). N-функгором F.C -» Сбудет называться функтор, для которого имеет место (для а, Ь, в С и для Г в су.
С помощью соответствующей модификации метода дедекин- довых сечений для N-категорий [Riscos Laita 1987, с.510] доказываются следующие два предложения (упражнение для читателя): Предложение 1. Каждая N-категория имеет полное расширение (полнота означает здесь наличие бесконечных копроизведений). Предложение 2. Пусть А, В, Е будут К-категориями, причем В есть расширение А и Е полна. Любой N-функтор F: А —> Е может быть расширен до N-функтора Н: В —> Е. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|