Главная Логика
КАТЕГОРНАЯ ЛОГИКА
|
|
||||||
Паранепротиворечивая логика в CN-категорияхВ настоящее время существует много паранспротиворечивых логик, поэтому оговоримся сразу, что мы будем иметь дело главным образом с пропозициональным исчислением С„ (1 <п<со которое было введено бразильским логиком Н. да Костой [da Costa 1963] в 1963 г. Первая алгебраизация этих логик была получена самим да Костой [da Costa 1966] и позднее исследована им вместе с А.М. Сетте и М. Фиделем. Проблема существования алгебры Лин- денбаума для Сп оставалась долгое время открытой, пока К. Мор- тенсен не обнаружил, что не существует отношения эквивалентности для С„, позволяющего получить нетривиальную фактор-алгебру [Mortensen 1980]. В некотором смысле стало очевидным, что алгебраический эквивалент этих исчислений вообще не может быть получен. В 1984 году В. А. Карниелли и Л. П. Алькантара [Camielli Alcantara 1984] сформулировали понятие алгебры да Косты, отражающей большинство логических свойств С„. Было показано, что алгебра да Косты изоморфна паранепротиворечивой алгебре множеств, которая могла бы приниматься в качестве эквивалента сто- уновской теоремы о представлении для булевых алгебр. Однако подобная аналогия законна только с неклассической точки зрения: некоторые операции в паранепротиворечивой алгебре множеств сформулированы не в обычных теоретико-множественных терминах. Ввиду того, что наши теоретико-категорные конструкции существенным образом основываются на алгебре да Косты, для дальнейшего употребления приведем полные определения[СагшеШ Alcantara 1984, р.81]. Определение 1. Под алгеброй да Косты будем понимать следующую алгебраическую структуру
такую, что для каждых а,Ь,с в S выполняются следующие условия:
Если существует xeS, такой, что неверно, что хлх' = 0, то про алгебру А говорят, что она представляет собой собственную алгебру да Косты Предложение 1. Если А = (S, 0, 1, <, a, v, з, ' )является алгеброй да Косты, то имеют место следующие свойства:
![]() Доказательство. Очевидно. ? Модификация конструкции N-категории с целью получения так называемых CN-категорий, позволяющих нам передать свойства алгебры да Косты, дает нам возможность получить версию категорией семантики С„. Следует отметить, что существуют альтернативные категорные семантики для паранепротиворечивых логик, например, Мортенсена-Лаверса-Джеймса основывающиеся на ко- гейтинговых алгебрах (см. [Mortensen 1980]). В дальнейшем мы покажем, что так называемые CN-алгебры, чья конструкция приводится ниже, позволяют преодолеть многие из трудностей, связанных с алгебраизацией паранепротиворечивых логик. Определение 2. CN-категория представляет собой категорию предпорядка С, снабженную контравариантным функтором W:C—>С, такую, что
Легко проверить, что любая CN-категория имеет следующие свойства: экспоненциал а => h в С будет резидуалом; С декартово замкнута; у -> х есть стрелка в С тогда и только тогда, когда (х,у)= у и ![]() [х.у]= х;
каждая CN-категория имеет, по меньшей мере, три объекта. Дадим интерпретацию в терминах CN-категорий следующего списка аксиом и правил вывода [da Costa 1963, р.3790]: Здесь а0 есть сокращение для —i(aA-ia). Эта аксиоматика фактически описывает систему С паранепротиворечивой логики да Косты. Примем следующий список в качестве словаря перевода высказываний в CN-категории:
Процесс интерпретации аксиом и правил вывода очевиден. Например, интерпретацией А5 будет а => (Ь => (а,Ь). Но утверждение, что это аксиома, означает, что а => (b => (a,b)) = 1, что по (v) дает нам стрелку а —> b => (а,Ь>. Мы получаем исчисление С„, когда подставляем вместо А11 -А 15 следующие аксиомы:
где а(") (0<и<м) означает а'ла2л...ла" и а", в свою очередь, означает а00 0 , где символ0 повторяется п раз. Нетрудно видеть, что аксиомы AIV-А]5' будут переводиться в CN-категории как и в случае Ci и их переводы схожим образом будут связаны с категорными свойствами CN-категорий. Определение 3. Пусть Cn и CN’будут двумя CN-категориями (с функторами N и N' соответственно). CN-функтор F: CN —> Си- шредставляет собой функтор, имеющий следующие (для а,Ь, 1,0 в Сц и 1 ,,0> в C/v):
С помощью соответствующей CN-категорной модификации понятий паранепротиворечивой алгебры множеств и фильтров в алгебрах да Косты можно доказать следующие предложение [Camielli Alcantara 1984, р.81-82]: Предложение 2. Каждая CN-категория имеет полное расширение. (Полнота означает здесь существование бесконечных произведений и копроизведений). Предложение 3. Пусть А,В,С будут CN-категориями, где В является расширением А и С является полной. Любой CN-функтор F: А —» С может быть расширен до CN-функтора Н: В —* Е. В дальнейшем С будет обозначать CN-категорию. Пусть р есть объект С и обозначим через Ср категорию Ср = {х: р—есть стрелка в С}, чьи стрелки совпадают со стрелками С. Если мы определим Np:Cp—> Ср как NpX=[Nx,p], то тогда легко видеть, что Np будет кон- травариантным функтором, таким, что пара (CP,NP) становится CN- категорией с р в качеегве инициального объекта и 1 в качестве тер- о минального. Ясно, что при таком определении (Npa,ap) будет играть роль N-функтора в N-категориях, в то время как Ср будет очевидным образом CN-категорным обобщением полных фильтров в алгебре да Косты. Пусть Е будет непустой совокупностью элементов С. Для п>2 рассмотрим
и определим
Заметим, что в сущности эти (Е) являются совокупностями CN- категорных переводов фильтров в алгебрах да Косты. Определение 4. (Е) максимально, если не существует ?' с С, такого, что (Е) с (?') с С. Свойства (Е) допускают, что совокупность может быть интерпретирована как множество доказуемых высказываний теории. Элементы (?) можно было бы понимать как аксиомы и рассматривать их как порождающие доказуемые высказывания, т.е. аксиомы (и их конъюнкции) «влекут» доказуемые высказывания. Определение 5. CN-категорная интерпретация системы С„ представляет собой пару (С,(Е)), которая описывает множество высказываний вместе с доказуемыми высказываниями. Логика (С,(Е)) синтаксически непротиворечива, если не имеет места, что и высказывание и его отрицание одновременно доказуемы, что эквивалентно неравенству (?) * С. В N-категориях <a,Na) = О, что ведет к тривиализации логике в случае противоречивости. В CN-категориях (a,Na) S 0 и имеет место более слабое условие (ii), т.е. (a°,Na°) = 0, что приводит к противоречивости (С,(Е)), но без тривиализации. Логика (С,(Е)) синтаксически полна, если для любого высказывания Р мы имеем либо ре(Е), либо {Np,p°)e(E), но не одновременно (взамен ре(Е) или Npe(E) в случае N-категорий). Это означает, что невыполнение подобного условия преобразует (Е) в (||0|| —> ||1||), следовательно (Е) будет максимальным. Случай теорий с конечным числом аксиом (что может быть сведено к их конъюнкции) дает нам Е = {р,...,рп} и (Е) = Ер с р = (р,...,р„). Отсюда (С,(Е)) является полным тогда и только тогда, когда р является минимальным относительно упорядочения, индуцированного на С. Рассмотрим пару (С,(Е)) - категорный перевод паранепротиво- речивой логики. Пусть В будет нетривиальной CN-категорией. Как и в случае N-категорий мы вводим понятие оценки, допускающей, что каждая CN-категория имеет, по меньшей мере, три элемента. Определение 6. В-оценка есть CN-функтор V: С —»В, такой, что:
Оценка V называется сингулярной, если существует такой ре С, что Vp = VNp = 1 и нормальной в противном случае. Объект ре С называется истинным по отношению к V, если Vp = 0. Если (С,(Е)), как в случае N-категорий, называлось бы семантически непротиворечивой (т.е. если бы существовала оценка V, такая, что реС влечет Vp = 1), то по отношению к сингулярной оценке (С,(Е)) было бы противоречивой. Но в то же время (С,(Е)) будет нетривиальным, поскольку (Vp,VNp) = (1,1) = 1. В общем случае (С,(Е)) будет противоречивым, но нетривиальным, если мы примем во внимание, что любая CN-категория имеет, по меньшей мере, три элемента. Определение 7. Модель (С,(Е)) есть В-оценка V, такая, что Vp = 1 для всех ре С. Согласно вышесказанному (С,(Е)) имеет модель, что не означает, что (С,(Е)) будет непротиворечивой, но лишь свидетельством ее нетривиальности. Определение 8. (С,(Е)) семантически полна, если имеет место следующее: р доказуемо (т.е., ре(Е)) тогда и только тогда, когда р истинно во всех моделях (С,(Е)). Теорема /. (С,(Е)) семантически истинно. Доказательство такое же, как в случае N-категорий с (А/р,р°)вместо Np. Ш |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|