Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДИФФУЗИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Диффузия по коврам и салфеткам Серпинского

Модельным примером, демонстрирующим особенности диффузии по фракталам (субдиффузии, замедленной диффузии) является миграция по плоским коврам и салфеткам Серпинского (фракталы, двумерные аналоги множества Кантора) как упорядоченным, так и стохастическим. Для регулярных фракталов типа пакетов Серпинского изменение характера диффузии обусловлено двумя причинами — сильной извилистостью пер- коляционных путей на всех масштабах и наличием тупиков (мёртвых концов) на токонесущих путях.

Рассмотрим диффузию по коврам Серпинского, которую будем представлять в виде дискретной решётки, некоторые узлы которой доступны для диффундирующей частицы (черные), другие - нет. В отличие от обычной прямоугольной решётки, узел фрактальной решётки не всегда имеем четыре соседа. Частица может перескочить из своего узла в какой- либо соседний узел, только если тот доступен и может разместить частицу (например, если он пуст и не содержит другую частицу)-

Известны два правила блуждания: модель "слепого муравья" и "модель близорукого муравья", которые рассматривают диффузию случайной частицы по структурированной решётке как путешествие маленького муравья по лабиринту. В первой модели муравей слеп. Это означает, что частица, находящаяся в угзле i с одинаковой вероятностью скачет в любой соседний узел j (независимо от того, он чёрный или белый). Если выбранное место чёрное, то частица переходит на этот место. В противном случае она возвращается на исходную позицию (рис. юа), где проводит некоторое

время до следующего скачка. В модели близорукого муравья частица видит (только) на один шаг вперёд. Но всё же видит! Она знает, какое смежное место способно её разместить, а какое нет, игнорирует недоступных соседей и перемешается только по разрешённым путям (рис. юб). Скачок куда-то обязателен, вероятность остаться частице на исходном узле равна нулю.

Рис. 9. Ковёр Серпинского.

Как уже упоминалось, важной характеристикой динамического процесса на фрактальных структурах является размерность случайного скачка dWi которая связана с v. Для ковра Серпинского 2

d = —, а так как в субдиффузии vdw>2. По-

v

скольку здесь d=2, с?у=1п6/1пз«1,6з, dw>2, то очевидно, что евклидова размерность пространства больше фрактальной размерности, но меньше размерности случайного скачка: на фрактальных структурах частицы в среднем диффундируют медленнее чем на однородных.

Замечание. Для салфетки Серпинского ck=2lg3/lg5, cta=lg5/lg2 и ds=2df/dw.

Рис. ю. Две модели случайного блуждания: а — модель слепого муравья; б — модель близорукого муравья.

На регулярной решётке dSp=L2/2d, где L — пространство между смежными узлами решётки, d — размерность евклидова пространства. Б случае ковра Серпинского

Структуры типа ковров Серпинского позволяют моделировать диффузию с поглощающими границами, на который частица "умирает" и выводится из миграционного процесса. Такие задачи имеют важное практическое значение. Примерами являются: распространение заболеваний, транспорт в неупорядоченных средах, сорбция пористыми адсорбентами и др. Алгоритмы слепого и близорукого муравья позволяют рассчитать вероятность частице достигнуть поглощающей границы в заданной точке в нужное время на конкретной структуре, вероятность выхода частицы из диффузионного процесса, вероятность гибели частицы, число частиц остающихся в миграционном процессе к заданному моменту времени. Например, среднее время выхода texil = ex'" , где л: — расстояние от точки

старта до поглощающей границы, с - константа.

Еще один важный механизм подвижности на фрактальных структурах — миграция с запретом: часть узлов занято другими диффундирующими частицами того же типа, так что массоперенос зависит от числа свободных соседних у'злов.

Рис. 11. Модель миграции близорукого муравья: а — ковер Серпинского; б — перколяционный кластер.

Предполагается, что узлы имеют ограниченную ёмкость: на узле может разместиться лишь одна частица. В этом случае также можно использовать модели блуждающего муравья, но следует учесть, что конфигурация доступных путей всё время меняется: диффундирующие частицы непрерывно перераспределяются по узлам решётки. Множество незанятых мест играет роль лабиринта. Поскольку все частицы могут двигаться на каждом временном шаге, структура лабиринта каждый раз меняется. Слепой муравей пытается перейти на любой у'зел из его ближайшего окружения, но только переходит на узлы, разрешенные в случайной сети, поэтому многие попытки прыгнуть прерываются. Напротив, близорукий муравей перемещается на заведомо разрешенные узлы; в этом случае нет прерванных движений. Модель близорукого муравья приводит к нелинейным уравнениям диффутзии, не имеющим аналитического решения и концентрационной зависимости коэффициента диффузии. В этом нелинейном уравнении коэффициент диффузии зависит от числа соседних узлов, от типа решётки и от концентрации диффундирующих частиц. Поскольку взаимодействующие слепые частицы имеют постоянную вероятность движения к каждому соседнему узлу, то задача приводит к линейному уравнению диффузии, вид которо

го не зависит от типа решетки.

Рис. 12. Показатели фракталов для адсорбции на поверхности с сильно развитым рельефом и на плоской поверхности.

Подобные модели оказались эффективными при описания диффузии в перколяционных средах и для описания адсорбции на поверхностях с сильно развитым рельефом. Показатель фрактала в случае адсорбции на фрактальной поверхности d/>2, т.е. на реальной поверхности твёрдого тела адсорбция больше, чем на плоской.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>