Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДИФФУЗИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ

Турбулентность относится к наиболее распространённым в природе и в технических устройствах явлениям. Её масштабы простираются от космического до порядка длины световой волны. Турбулентными являются: течение воды в реках, морях, океанах и в кровеносных сосудах; межзвёздные газовые туманности; струи реактивных двигателей и газовых горелок; общая циркуляция атмосферы планет, недр звёзд; конвективные потоки в жилых помещениях. Турбулентность также возникает при движении гребных винтов, турбин, летательных аппаратов и биологических объектов; при протекании как медленных, так и быстрых (горение, взрыв) химических реакций; в космической и лабораторной плазме.

Турбулентная диффузия — важное направление исследования явления турбулентности. Феноменологическое описание турбулентной диффузии — сложная и до сих не решённая проблема. В данной главе обсуждены лишь некоторые ситуации, возникающие в этой сфере. Попутно даны примеры диффузии при наличии конвенции и адвекции.

Турбулентность

Турбулентностьсложное, неупорядоченное во времени и пространстве поведение диссипативной среды (или поля), детали которого не могут быть воспроизведены на больших интервалах времени при сколь угодно точном задании начальных и граничных условий. Такая невоспроизводимость — следствие собственной сложной динамики среды, определяемой неустойчивостью индивидуальных движений; она не связана с неполнотой описания, флуктуациями или действием внешних шумов. В режиме стационарной турбулентности диссипация энергиикомпенсируется её поступлением из внешних источников.

Турбулентность наблюдается во многих течениях жидкостей, газов и плазмы, при которых образуются многочисленные вихри различных размеров, вследствие чего их гидродинамические и термодинамические характеристики (скорость, температура, давление, плотность) испытывают хаотические флуктуации и потому изменяются от точки к точке и во времени нерегулярно. Этим турбулентные течения отличаются от ламинарных течений. Благодаря большой интенсивности турбулентного перемешивания турбулентные течения обладают повышенной способностью к передаче количества движения, передаче теплоты, ускоренному распространению химических, реакций (в частности, горения), способностью нести взвешенные частицы, рассеивать звуковые и электромагнитные волны и создавать флуктуации их амплитуд и фаз, а в электропроводящей жидкости — генерировать флуктуирующее магнитное поле.

При увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные (линейные) различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии. Для расчёта подобных течений предложено много моделей турбулентности. Волны появляются случайно, и их амплитуда меняется хаотически в некотором интервале. В турбулентном потоке нестационарные вихри появляются на многих масштабах и взаимодействуют друт с друтом. В отличие от ламинарного потока, турбулентность связана с большим числом Рейнольдса, т.е. в режиме, при котором силы инерции преобладают над вязкими силами.

Число РейпольдсаО — величина, характеризующая отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навъе-Стокса; определяется соотношением: Re - f*tDr - р — плотность среды, кг/м3; v — характерная скорость, м/с; Dr

П uSA

— гидравлический диаметр, м; /; —динамическая вязкость среды, Па с или кг/(м-с); v — кинематическая вязкость среды, м2/с); Q — объёмная скорость потока; Sa — площадь сечения трубы. Для каждого вида течения существует критическое число Рейнольдса,, которое определяет переход от ламинарного течения к турбулентному. При ReReKp возможно возникновение турбулентности.

Число Рэлея — безразмерное число, определяющее поведение жидкости под воздействием градиента температуры. Если число Рэлея больше некоторого критического значения, равновесие жидкости становится неустойчивым и возникают конвективные потоки. Возникает бифуркацияв динамике жидкости. Критическое значение числа Рэлея является точкой бифуркации для динамики жидкости. Ru _ где g — ускорение свободного падения; L — характеристический

размер области жидкости; АТ — разность температур между стенками и жидкостью; у — кинематическая вязкость жидкости; х —температуропроводность жидкости; ф— коэффициент теплового расширения жидкости.

Математический аппарат турбулентности строится на решении уравнения Навье-Стокса.

Уравнения Навъе-Стокса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости.В случае несжимаемой жидкости система состоит из уравнения движения и уравнения неразрывности.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где V — оператор набла, Л — векторный оператор Лапласа, t время, v— коэффициент кинематической вязкости, р — плотность, р — давление,

v = (v1v") — векторное поле скоростей, f — векторное поле сил.

Уравнения Навье — Стокса следует дополнить уравнением неразрывности:

V-v = 0

Систему уравнений Навье—Стокса решают при требуемых граничных и начальных условиях.

Замечание. Нахождение общего аналитического решения системы Навье-Стокса для пространственного потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий. Это — одна из семи «проблем тысячелетия», за решение которых Математический институт Елэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трёхмерных уравнений Навье — Стокса. По состоянию на 2016 год аналитические решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. Обычно используются численные методы. Некоторые видные математики считают, что эта проблема не может быть решена существующими сейчас средствами.

Турбулентные потоки всегда весьма неравномерны (турбулентный поток хаотичен, но не все хаотические потоки являются турбулентными). Любые параметры среды (скорость, температура, давление, плотность) испытывают хаотические колебания, изменяются от точки к точке и во времени непериодически. Они очень чувствительны к малейшим изменением параметров среды. В турбулентном течении мгновенные параметры среды распределены по случайному закону, чем это течение отличается от ламинарного. Вследствие чрезвычайной нерегулярности гидродинамических полей турбулентных течений применяется статистическое, а недетерминированное описание турбулентности: гидродинамические поля трактуются как случайные функции от точек пространства и времени, и изучаются распределения вероятностей для значений этих функций на конечных наборах точек. При этом считается, что турбулентность порождает случайно изменяющаяся совокупность вихревых элементов различных размеров. Вихри неустойчивы. Они дробятся на более мелкие вихри, те на ещё более мелкие. В конце концов на малых размерах вступает в действие молекулярная вязкость, и мельчайшие вихри затухают за счёт неё.

Для турбулентного движения характерна перемежаемость: помимо флуктуаций энергии в пространстве и времени, в ее усредненное значение основной вклад вносят редкие флуктуации, существенно превышающие фоновый уровень. Это обстоятельство учитывается в рамках фрактальной модели турбулентности, согласно которой в процесс передачи энергии от крупных вихрей к более мелким вовлечён не весь объём крупного вихря, а лишь его активная часть, которая может быть охарактеризована коэффициентом p=2d/3 (ф^показатель фрактала) равным отношению объёма вновь образующихся вихрей с масштабом /п+1~2 П1/0 к объёму исходного вихря с масштабом /„~2 п/0, где /0-характерный масштаб всего течения. В мультифрактальной модели предполагается, что передача энергии от больших масштабов к меньшим сосредоточена на множествах со своей фрактальной размерностью, на каждом из которых в инерционном интервале также имеет место собственная масштабная инвариантность.

В развитие представлений о природе турбулентности существенный вклад внесла теория динамического хаоса — случайного поведения полностью детерминированной системы. Образом случайного движения динамической системы является странный аттрактор (например, Лоренца). Странный аттрактор — притягивающее множество траекторий, среди которых все являются неустойчивыми может возникнуть после небольшого числа бифуркаций в фазовом пространстве даже весьма простых течений. В фазовом пространстве для уравнений Навье-Стокса при превышении критического числа Рейнольдса существует странный аттрактор, движение по которому соответствует режиму установившейся турбулентности. Аттрактор включает нелинейные волны и обладают фрактальными, самоподобными свойствами; волны занимают конечный объём, остальная часть области течения ламинарна. Применимость теории динамического хаоса к описанию турбулентности обосновывается не только характером бифуркаций течения, предшествующих возникновению беспорядка, но и тем, что по наблюдаемым данным можно восстановить странный аттрактор за точкой перехода. Роль частиц здесь играют особенности поля или сформированные им локализованные структуры, например, вихри. Хаотическое движение таких частиц и есть пространственно-временной беспорядок.

Хотя турбулентность трудно определить точно, всё же есть несколько важных характеристик, которыми обладают все турбулентные потоки. Они включают: непредсказуемость, высокий коэффициент диффузии, высокий уровень флуктуирующих вихрей и рассеивание кинетической энергии частиц. Скорости движений и концентрации в некоторой зоне турбулентного потока представляются наблюдателю "случайными", "хаотическими". Величина скорости непредсказуема в том смысле, что исходя из скорости в данный момент, невозможно её предсказать в следующий момент времени. Непредсказуемый характер турбулентности требует прибегать к статистическим методам описания движения.

При турбулентной диффузии скорость миграции представляют в виде усредненной величины плюс некоторое колебание. Средняя скорость:

Здесьвремя Т значительно больше длительности самой продолжительной турбулентной пульсации в потоке.

Скорость считается статистически стационарной, если средняя ее величина постоянна в течение периода, интересующего исследователя.

Пример записи турбулентной скорости

Рис.1. Пример записи турбулентной скорости.

В стационарном режиме мгновенную скорость можно представить в виде суммы усреднённой по времени скорости U и флуктационного вклада (отклонения от среднего значения, и': и = й + и

Среднее время колебания равно нулю (рис.1). Величина флуктуаций характеризуются дисперсией:

Стандартное отклонение и = yfu*.

Колебания скорости существенно ускоряют перенос импульса, тепла и массы примеси. Турбулентный процесс значительно эффективнее молекулярной диффузии.

Несмотря на то, что флуктуации скорости непредсказуемы, они всё же обладают пространственной структурой. Турбулентный поток состоит из вихрей существенно различных размеров: от самых больших, допускаемых геометрией пространства, до малых масштабов, в которых преобладает молекулярная диффузия. Вихри постоянно развиваются во времени, и суперпозиция их индуцированных движений приводит к флуктуации во времени концентрации примеси. Турбулентная кинетическая энергия передается из крупных вихрей к малым (энергетический каскад). На малых масштабах энергия рассеивается теплопроводностью. Для поддержания турбулентности требуется постоянное поступление энергии:

где б — скорость диссипации энергии, / — интегральная длина масштаба.

Скорость диссипации не зависит от вязкости флюида, но зависит от крупномасштабных движений, а масштаб рассеивания зависит от вязкости флюида. Эти обстоятельства позволяют оценить масштаб диссипации

где V— кинематическая вязкость.

Аналогично задают масштабы времени и скорости наименьших

вихрей:

Аналогичный масштаб длины можно оценить для диапазона, в котором преобладает молекулярная диффузия:

Соотношение масштабов этих длин

где Sc — число Шмидта.

Число Шмидта Sc — безразмерное число, показывающее соотношение интенсивностей диффузии импульса (вязкость) и диффузии вещества. Оно характеризует относительную роль молекулярных процессов переноса количества движения и переноса массы примеси диффузией и является критерием подобия для течений жидкости, в которых )шблюдаются одновременно как переносы вещества (обычно примеси), так и вязкие эффекты. Число Шмидта равно отношению коэффициентов кинематической вязкости к коэффициенту диффузии вещества (или коэффициенту массопереноса). Sc= v/D, где v — кинематическая вязкость, M2-c_i; D — коэффициент диффузии, м2-с~1. В величина Sc показывает, насколько импульс переносится эффективнее вещества. В совершенных газах Sc -1, так как v -D; в реальных газах оно может отличаться от 1 на десятки процентов. В жидкостях оно ~юоо, в жидких металлах чо. Аналог числа Шмидта для переноса тепла —число Прандтля. В связи с этим число Шмидта часто называют диффузионным числом Прандтля и обозначают Pro.

Энергетический спектр характеризует турбулентный распределение кинетической энергии в зависимости от масштаба вихрей. (Спектр мощности обычно описывается в терминах волнового числа, к=2к/Х (X—длина волны). Этот спектр демонстрирует количество турбулентной кинетической энергии, содержащейся в определенном масштабе длины: большие турбулентные масштабы длины в потоке определяют скорость диссипации.

Они получают энергию от средней энергии потока, а затем передают её вихрям с последовательно уменьшающимися масштабами, вплоть до молекулярного уровня. Распределение энергии в больших масштабах длины диктуется геометрией и средней скоростью потока. Самые малые масштабы длины на много порядков меньше больших масштабов и поэтому являются изотропными. Между этими крайними случаями расположен инерционный диапазон ц <

Ек = шг2/3Г5/3

где к— волновое число, а — некоторая константа, Ек—плотность кинетической энергии, т.е. Sk— кинетическая энергия/номер масс волны [U2/L- J=L3/!P]; L—размер наибольшей турбулентности; [U2/T=U2/(L/U) =(]з/Ь= Ь2/Тз], U— скорость потока.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>