АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

ГРУППЫ Определение группы, примеры и основные свойства групп Определение группы, терминология Примеры групп Числовые группы. Группы подстановок. Группы в геометрии. Группы в линейной алгебре. Основные свойства групп Подгруппы Контрольные вопросы Задачи Порядок элемента группы Определение и примеры Основные свойства порядков элементов группы Контрольные вопросы Задачи Циклические группы Определение и примеры Подгруппы циклических групп Порождающие элементы циклической группы Контрольные вопросы Задачи Смежные классы Определение и примеры Основные свойства смежных классов Теорема Лагранжа и следствия из нее Контрольные вопросы Задачи Нормальная подгруппа и факторгруппа Определение нормальной подгруппы, примеры Факторгруппа Аддитивная группа классов вычетов Мультипликативная группа классов вычетов Классы сопряженных элементов Контрольные вопросы Задачи Изоморфизмы групп Определение и примеры Основные свойства изоморфизмов групп Изоморфизмы циклических групп Связь конечных групп с группами подстановок Задачи Гомоморфизмы групп Определение и свойства гомоморфизмов групп. Ядро гомоморфизма Теорема о гомоморфизмах Задачи *. Конечные абелевы группы Прямое произведение подгрупп Разложение циклических групп в прямое произведение своих подгрупп Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгрупп Контрольные вопросы Задачи КОЛЬЦА И ПОЛЯ Определение и основные свойства колец Определение и примеры колец Основные свойства колец Контрольные вопросы Задачи Определение и основные свойства полей Определение поля, примеры Основные свойства полей Контрольные вопросы Задачи Подполя, подкольца, идеалы Изоморфизмы и гомоморфизмы колец и полей Характеристика кольца и поля ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦАХ Основные понятия теории делимости в области целостности Область целостности Определение и основные свойства делимости Наибольший общий делитель Контрольные вопросы Задачи Факториальные кольца Простые элементы области целостности Определение факториального кольца и примеры разложений на простые множители Нахождение НОД и НОК в факториальном кольце Контрольные вопросы Задачи Евклидовы кольца Евклидово кольцо и алгоритм Евклида Взаимно простые элементы евклидова кольца Факториальность евклидова кольца Контрольные вопросы Задачи Примеры евклидовых колец Евклидовость кольца целых чисел Евклидовость кольца целых комплексных чисел Евклидовость кольца многочленов над полем Примеры неевклидовых колец Контрольные вопросы Задачи Кольца главных идеалов Определение и примеры колец главных идеалов Существование разложения на простые множители в кольце главных идеалов Факториальность кольца главных идеалов Контрольные вопросы Задачи РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ Алгебраический над данным полем элемент и его минимальный многочлен Алгебраические и трансцендентные элементы над полем Минимальный многочлен алгебраического элемента Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби Контрольные вопросы Задачи Степень расширения Базис и степень расширения Повторное расширение поля Контрольные вопросы Задачи Простое расширение поля Простое алгебраическое расширение поля Простое трансцендентное расширение поля *. Существование простого алгебраического расширения поля и поля разложения данного многочлена Контрольные вопросы Задачи Составное расширение поля Повторное алгебраическое расширение поля Составное расширение поля Контрольные вопросы Задачи Поле алгебраических чисел Квадратичные расширения полей От геометрии к алгебре Неразрешимость некоторых задач на построение циркулем и линейкой *. Разрешимость уравнений в радикалах Контрольные вопросы Задачи Конечные поля Число элементов конечного поля *. Мультипликативная группа конечного поля Контрольные вопросы Задачи *. Конечные тела Предварительные сведения Основная теорема о конечном теле *. Алгебры над полями Тело кватернионов Алгебры с делением конечного ранга над полем действительных чисел Контрольные вопросы Задачи