Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ГРУППЫ

Определение группы, примеры и основные свойства групп

Определение группы, терминология

Рассмотрим сложение натуральных чисел. Имеем: 2 + 3 = 5. Упорядоченной паре слагаемых (2, 3) ставится в соответствие число 5. На базе этих представлений о сложении дадим общее определение.

Определение 1.1. Бинарной алгебраической операцией (или просто бинарной операцией) на непустом множестве G называется отображение множества всех упорядоченных пар {(х, у) | х,у е е G} в множество G. При этом если упорядоченной паре (а, Ъ), где a, b е G, ставится в соответствие элемент се G, то пишут а* Ь = с и * называют бинарной операцией на множестве G, а совокупность двух объектов (G, *) называют алгебраической системой с основным множеством G и бинарной операцией *.

Например, бинарная операция умножения натуральных чисел есть отображение, при котором, в частности, упорядоченной паре (2, 3) ставится в соответствие число 6. А вот вычитание не является бинарной операцией на множестве N, так как при вычитании паре (2, 3) ставится в соответствие число -1 g N. Вычитание есть бинарная операция на множестве целых чисел Ъ. В дальнейшем мы будем рассматривать также алгебраические системы с двумя бинарными алгебраическими операциями типа (Z, + , •).

Определение 1.2. Группой называется алгебраическая система (G, *) с основным множеством G и бинарной операцией *, если выполняются следующие условия:

  • 1) операция * ассоциативна, т.е. для любых a,b,ce G (а*Ь) * * с-а * (b * с);
  • 2) существует элемент е е G, называемый нейтральным, такой что а*е = е*а = а для любого а е G;
  • 3) Для всякого элемента а е G существует элемент а' е G, называемый симметричным элементу а, такой что а * а' = а' * * а = е.

Если групповая операция * коммутативна (т.е. для любых а, be G a* b = b * а), то группа называется коммутативной, или абелевой. Групповая операция обычно обозначается либо знаком «+» (плюс), либо знаком «•» (точка), а сама группа записывается либо в виде системы (G, +), либо (G, •), причем в каждом случае используется своя терминология. Группа по сложению называется аддитивной, а по умножению — мультипликативной. При построении общей теории групп обычно пользуются мультипликативной терминологией, а при построении теории коммутативных групп — аддитивной. Приведем словарик терминов каждой из этих терминологий (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Термины теории групп

Общая

Аддитивная

Мультипликативная

терминология

терминология

терминология

Группа (G, *)

Аддитивная

Мультипликативная

группа (G, +)

группа {G, ?)

Бинарная операция *

Сложение +

Умножение•

Результат а * b

Сумма а + Ь

Произведение а ? b

Нейтральный элемент е

Нуль 0

Единица 1 или е

Симметричный элемент а'

Противоположный элемент

Обратный элемент а-1

Если ясно, о какой операции идет речь, то группу обозначают одной буквой, соответствующей основному множеству системы, например аддитивная группа Z (вместо (Z, +)). Рассматривая теорию групп, мы будем использовать мультипликативную терминологию.

Определение 1.3. Порядком группы G называется количество ее элементов (мощность множества G). Обозначается |G|. Группа называется конечной, если ее порядок конечен, и называется бесконечной, если ее порядок бесконечен. Если группа G содержит п элементов, то пишут | G | - п, а если группа G бесконечна, то пишут | G | = °о.

Исторический экскурс

Впервые группы появились в работах Лагранжа при исследовании вопроса о том, можно ли выразить корни многочлена через его коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (проблема решения уравнений в радикалах). Для многочленов второй степени такие формулы известны с глубокой древности. Трудами итальянских математиков Дель Ферро, Тартальи и Кардано подобные формулы были найдены для многочленов третьей степени (в справочниках можно найти формулу Кардано для корней уравнения третьей степени). Методом Феррари решение уравнения четвертой степени сводится к решению уравнений третьей и второй степеней. Лагранж установил общую идею сведения решения уравнения данной степени п = 2, 3, 4 к решению так называемого разрешающего уравнения меньшей степени (резольвенты). Однако в случае п = 5 резольвента оказывается уравнением шестой степени. В исследовании этого вопроса в трудах Лагранжа впервые возникают группы подстановок. Например, за возможность сведения решения уравнения четвертой степени к решению уравнения третьей степени отвечает наличие в группе подстановок четвертой степени S4 инвариантной (нормальной) подгруппы Н = (е, i = (12)(34),; = (13)(24), у = (14)(23)} (четверная группа Клейна).

В 1824 г. Н. Абель доказал, что корни уравнения степени л > 5, вообще говоря, нельзя выразить через коэффициенты, используя указанные выше операции. В этом случае говорят, что уравнение не разрешимо в радикалах.

Выдающийся французскиий математик Э. Галуа в 1832 г. нашел связь между разрешимостью уравнения в радикалах и группой подстановок корней уравнения. Он ввел термины «группа» и ее «инвариантная подгруппа» (теперь такую подгруппу называют «нормальной»). Как пишет Ф. Клейн[1], «особым достижением Галуа является то, что он в общем виде отчетливо осознал понятие инвариантной подгруппы и исследования, выполненные Лагранжем для уравнений 3-й и 4-й степени, расширил до фундаментальной общей концепции относительно решения уравнений произвольной степени». Тем самым «под задачу решения алгебраических уравнений, ставшую традиционной с XVI в., подведен некий новый фундамент», коим явилась абстрактная теория групп.

Идеи Галуа получили широкое распространение благодаря выходу в 1870 г. «Трактата по теории подстановок и алгебраических уравнений» К. Жордана.

В трудах Е. С. Федорова группы были использованы в кристаллографии в качестве естественного инструмента классификации.

Классификация геометрий с помощью понятия группы впервые прозвучала в докладе Ф. Клейна в его «Эрлангенской программе», с которой он выступил при вступлении в должность профессора Эрлангенского университета. В этой программе различные геометрии характеризовалиь группами преобразований и целью каждой геометрии объявлялось изучение инвариантов этих групп преобразований. Так, евклидова геометрия выделяется группой движений, а ее цель — изучение свойств фигур, не изменяющихся при движениях.

Впервые вне связи с приложениями теория групп была изложена как абстрактная аксиоматическая теория в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп». В нашей стране автор книги широко известен как полярный исследователь. В этой связи отметим, что предисловие ко второму изданию упомянутой книги подписано автором так: «Август 1933 г. Ледокольный пароход “Челюскин”». Этот ледокол во время полярной экспедиции, возглавляемой О. Ю. Шмидтом, был раздавлен льдами, и спасение членов экспедиции стало одной из ярких страниц истории освоения Арктики.

Основополагающие результаты по теории конечных групп принадлежат Л. Силову. Значительный вклад в развитие теории групп внесли известные отечественные математики А. Г. Курош и А. И. Мальцев.

В настоящее время теория групп превратилась в самостоятельную бурно развивающуюся ветвь алгебры с многочисленными приложениями. Глубже познакомиться с теорией групп можно по монографиям [8,13,18].

  • [1] Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. : Наука, 1989. С. 374.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>