Контрольные вопросы

  • 1. Существуют ли подгруппы в группе, не имеющие общих элементов?
  • 2. Может ли в группе неединичный элемент совпадать со своим обратным?
  • 3. Если А — подгруппа группы В, а В — подгруппа группы С, то будет ли А подгруппой группы С?
  • 4. Если Ну и Я2 — подгруппы некоторой группы, то будет ли подгруппой объединение множеств Я, и Н2?
  • 5. Может ли порядок собственной подгруппы группы равняться порядку самой группы? Если нет — докажите, если да — приведите пример.
  • 6. Чему равны порядки групп S„ и Ап?
  • 7. В какой группе существует единственный обратный элемент для всех элементов группы?
  • 8. Чему равно пересечение всех подгрупп группы?
  • 9. Будет ли группа конечной, если число ее подгрупп конечно?
  • 10. Будет ли группа коммутативной, если всякая ее собственная подгруппа коммутативна?

Задачи

  • 1. В каждой группе из приведенных в подпараграфе 1.1.2 примеров групп выберите элементы а, b и решите уравнения ax = b иуа = b в мультипликативной группе и уравнение а +х=Ъ в аддитивной группе.
  • 2. Докажите, что решения уравнений а ? х = Ь иу ? а = Ь совпадают тогда и только тогда, когда а • b = Ъ • а.
  • 3. В каждой группе из приведенных в подпараграфе 1.1.2 примеров групп приведите примеры подгрупп. В частности, выпишите все подгруппы групп S3 и S4. Найдите в них подгруппы четных подстановок — соответственно А3 и Ал.
  • 4. Докажите, что подмножество Н группы G является подгруппой данной группы тогда и только тогда, когда Я * 0 и для любых а,Ь е Я

а~гЬ е Я. Сформулируйте этот критерий подгруппы в аддитивной терминологии.

  • 5. Пусть рь р2, ..., рп — различные простые натуральные числа, п > 2, и й — произведение всех этих чисел, кроме числар, г = 1,...,п. Докажите, что Z = (р1,...,рп) (т.е. аддитивная группа целых чисел порождается указанными произведениями) и ни одно из порождающих чисел нельзя удалить.
  • 6. Пусть Я — подгруппа группы G и g е G.
  • 1) Докажите, что подгруппами являются множества g~1Hg={g~1hg he е Я} и gHg-1 = {ghg-1 | he Н}.
  • 2) Докажите, что g-'Hg = Я тогда и только тогда, когда gH = Hg, где gH={gh he Я}, Hg = {hg he Я}.
  • 3) В каком случае g~1Hg = gHg-1?
  • 7. Существует ли в аддитивной группе комплексных чисел С такая подгруппа Я, что К < Я < С?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >