Основные свойства порядков элементов группы

Будем рассматривать мультипликативную группу G с единицей е. Пусть а — произвольный элемент группы G.

1. | а | = | а-11.

Доказательство. А. Пусть | а | = <*>. Предположим, что | аг11 конечен и равен т. Тогда (сп1)™ = е, откуда (am)_1 = е и ат = е — пришли к противоречию. Следовательно, | а-11 = °° = | а |.

Б. Пусть | а | =п. Тогда ап = е, откуда а41 = е и (а_1)п = е. Таким образом, | а-11 конечен, и если предположить, что | а-11 = т, то по определению порядка элемента получаем т < п. С другой стороны, из равенства (а-1)01 = е следует, что ат = е, откуда п<т. Следовательно, т = п.

2. Если | а | = п, то ak = е тогда и только тогда, когда к : п (напомним, что знак : означает «делится»).

Доказательство. (=>) Пусть |а| = п и ак - е. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 < г < п. Следовательно, е - ак = a,u?+r = an(i ? аг = аг. Если предположить, что г Ф 0, то приходим к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к : п.

  • (<=) Пусть а = п и к : п. Тогда к = nq при некотором целом q и ак = апч=п)ч = еч = е. Свойство доказано.
  • 3. Если |а | =п,тоак = ат тогда и только тогда, когда (к-т) : : п.

Доказательство. Имеем: ак = ат <=> ак~т = е, а по свойству 2, последнее равенство эквивалентно условию (к-т) : п.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >