Контрольные вопросы

1. Могут ли элементы а * е и а² иметь одинаковые порядки?
2. Может ли произведение двух элементов бесконечного порядка иметь конечный порядок?
3. Может ли произведение элементов порядка два иметь порядок больше двух?
4. Как можно охарактеризовать порядки элементов аддитивной группы целых чисел?
5. Может ли порядок элемента группы равняться порядку самой группы?
6. Чему равен порядок куба элемента бесконечного порядка?
7. Порядок элемента равен шести. Чему равен порядок куба этого элемента?

Задачи

1. Найдите порядки всех элементов групп подстановок S₃ и S₄.
2. Докажите равенство порядков элементов ab и Ьа.
3. Докажите равенство порядков элементов abc, Ьса и cab.
4. В группе подстановок S₃ сравните порядки элементов х, у, ху, ух, лг'ух, у~¹ху для различных элементов х, у е S₃.
5. Найдите порядки элементов мультипликативной группы единиц G = {l,-l,i, -i}.
6. В мультипликативной матричной группе найдите порядки элемен-

tor:

7. Для всех т < 10 найдите порядки степеней элемента а, где | а = т.
8. Докажите, что если элементы а и Ъ группы G перестановочны и их порядки взаимно просты, то ab = |а| • |Ь|.
9. Докажите, что если в группе порядок всякого неединичного элемента равен двум, то группа абелева.
10. Докажите равенство порядков элементов а и fr'ab.