Контрольные вопросы

  • 1. Может ли пересечение двух циклических подгрупп быть не циклической подгруппой?
  • 2. Есть ли в бесконечной циклической группе неединичный элемент конечного порядка?
  • 3. Имеет ли бесконечная циклическая группа конечную подгруппу?
  • 4. Существует ли в бесконечной циклической группе минимальная неединичная подгруппа (т.е. не содержащая собственных неединичных подгрупп)? Максимальная подгруппа (т.е. собственная подгруппа, которая не содержится в большей собственной подгруппе)?
  • 5. Если порядок циклической группы равен произведению т ? п, то существуют ли в ней подгруппы порядков тип?
  • 6. Может ли пересечение двух бесконечных циклических подгрупп быть конечной подгруппой?
  • 7. Содержит ли мультипликативная группа G = (а) порядка п элемент an+1?
  • 8. Сколько порождающих элементов имеет группа G = (а), если |а| =7, |a| =8, |a| =9, |a| =10?

Задачи

  • 1. Найдите все подгруппы циклической группы порядка п для всех п<7.
  • 2. Убедитесь, что группа подстановок S3 сама не циклическая, а всякая ее собственная подгруппа — циклическая.
  • 3. Выберите в бесконечной циклической группе две неединичные подгруппы и найдите их пересечение.
  • 4. Выпишите все комплексные корни 6-й степени из единицы, убедитесь, что они образуют мультипликативную группу, и найдите в ней все порождающие элементы.
  • 5. Докажите, что группа Ср,„ (группа всех корней всех степеней р" для всевозможных натуральных п и фиксированного простого числа р) сама не циклическая, а всякая ее собственная подгруппа циклическая.
  • 6. Пусть Л и В — подгруппы циклической группы порядка 9. Будет ли объединение множеств АиВ подгруппой?
  • 7. Найдите все порождающие элементы циклической группы порядка 12 и постройте рисунки, подобные рис. 1.5.
  • 8. Найдите пересечение аддитивных циклических подгрупп (1/3) п п (1/5).
  • 9. Найдите пересечение мультипликативных подгрупп (1/3) п (1/5).
  • 10. Найдите число порождающих группы (ab), если |а | =3, Ь =5.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >