Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Нормальная подгруппа и факторгруппа

Определение нормальной подгруппы, примеры

Элемент группы далеко не всегда перестановочен с другими элементами этой группы. Легко видеть, что множество всех элементов группы, перестановочных с каждым элементом группы, является подгруппой. Введем название для этой подгруппы.

Определение 1.12. Множество всех элементов группы G, перестановочных с каждым ее элементом, называется центром группы и обозначается C(G).

Таким образом, C(G) = {с е G | Vg е G cg = gc}. Понятно, что абелева группа совпадает со своим центром. В группе S3 центр является единичной подгруппой.

Если Я C(G), то для любого элемента g е G имеет место равенство gH = Hg. Введем обобщающее понятие.

Определение 1.13. Подгруппа Я группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы, т.е. gH = Hg для любого g е G.

Обозначение: Н =4 G. Читается: Я — нормальная подгруппа группы G.

Равенство gH = Hg совсем не означает, что gh = hg для любого h е Я. Оно означает лишь, что для любого элемента gh е gЯ существует элемент hx е Я, такой что gh = h^g. Например, в равенстве (12)Л3 = Л3(12) левая часть есть множество

а правая часть есть множество

Видим, что (12) • (123) = (13) = (132) • (12), и это демонстрирует равенство gh = h^g при g = (12), h = (123), Яг = (132).

Примеры.

  • 1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна.
  • 2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны.
  • 3. Центр группы C(G) является нормальной подгруппой.
  • 4. В группе S3 возьмем подгруппу Нх всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда Нх не является нормальной подгруппой, так как (12) • Нх * Н1 ? (12).
  • 5. Докажем, что Ап =4 Sn для любого п. Пусть g е Sn. Если g — четная подстановка, то gAn = Ап = Ang. Пусть g — нечетная подстановка. Тогда смежный класс gAn состоит из нечетных подстановок и всякая нечетная подстановка содержится в gAn (докажите). Следовательно, разложение группы Sn на левые смежные классы по подгруппе Ап имеет вид Sn = Ап и gAn. Аналогично получаем разложение группы Sn на правые смежные классы: S„ = An u Ang. Отсюда делаем вывод, чтоgAn = Ang. Следовательно, Ап =4 Sn.

Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |S„ : А„| = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа Н индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого g е G имеем G = HugH = Hu Hg. ОтсюдаgH = Hg. Следовательно, Н ^4 G.

Чтобы сформулировать критерий нормальной подгруппы, введем одно новое понятие, играющее в теории групп важную роль.

Определение 1.14. В группе G элемент а е G называется сопряженным с элементом Ъ е G, если существует элемент# е G, такой что а = g~'bg.

Теорема 1.9 (критерий нормальной подгруппы). Подгруппа Н группы G является нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом содержит и всякий сопряженный с ним элемент:

Доказательство. (=>) Пусть H^.GnheH,geG. Докажем, что g~^hg е Н. Используя определение нормальной подгруппы, получаем hg е Hg = gH. Следовательно, существует элемент h] е Я, такой что hg = gh1. Отсюда g^hg = h: е Н.

(<=) Пусть из того, что h е Н, g е G, следует, что g~yhg е Н. Докажем, что gH = Hg. Произвольный элемент из Hg имеет вид hg, где he Н. Имеем: hg = g ? g-lhg = g^ е gH, где g-'hg = hj e e H. Следовательно, Hg c gH. Аналогично доказывается обратное включение. Таким образом, gH = Hg для любого g е G, т.е. Н 4 G.

Рассмотрим примеры.

  • 1. С использованием критерия нормальной подгруппы совсем просто доказывается нормальность подгруппы четных подстановок Ап в группе всех подстановок п символов Sn. В самом деле, если а е А,„ то для любой подстановки 5 е S„ подстановка s_1as является четной, а значит, принадлежит А, Следовательно, Ап =4 Sn.
  • 2. Докажем, что в группе G = GLn(M) обратимых квадратных матриц порядка п над полем R подгруппа Я, состоящая из матриц с определителем, равным единице, является нормальной. Пусть матрица Л е Я, это значит, что ее определитель |А| =1. Для любой матрицы В е G имеем

Следовательно, В^АВ е Н и Н =4 G.

Теорема 1.10. Пересечение двух нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть Нг и Я2 — нормальные подгруппы группы G и Я=Н± п Я2. По теореме 1.2 Я есть подгруппа группы G. Для любых h е Н и g е G имеем g~^hg е Я, и g~lhg е Н2. Следовательно, g~]hg е Н1пН2=Н. Теорема доказана.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>