Изоморфизмы циклических групп

Циклические группы с точностью до изоморфизма описываются следующей теоремой.

Теорема 1.16. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z - (1), а всякая циклическая группа порядка т изоморфна мультипликативной группе Ст корней т-й степени из единицы.

Доказательство. 1. Пусть дана мультипликативная бесконечная циклическая группа (а) = {а'! | пе Z}. Рисунок 1.11 подсказывает отображение/:(а) —» Z по формуле Да") = п для любого п е Z.

Рис. 1.11

Поскольку | а | = то для любых целых чисел тип равенство ат = ап имеет место тогда и только тогда, когда т = п. Следовательно,/является взаимно однозначным соответствием и, очевидно, на все множество Z. Кроме того,

Следовательно, отображение / является изоморфизмом циклической группы (а) на аддитивную циклическую группу Z = = <1>.

2. Пусть дана мультипликативная циклическая группа G = (а) порядка т. На рис. 1.12 ее элементы изображены точками на первой окружности, а точки на второй окружности изображают комплексные корни m-й степени из единицы, составляющие циклическую группу корней Ст = (в) = {1, е, 271 271

е2, ..., ?т_1}, где ? = cos—-н г sin—. Видим, что группы С = (а) т т

и Ст = (?) изображаются одинаково и могут быть совмещены с сохранением операции. Следовательно, они изоморфны. Докажем этот зримый факт формально логически.

Рис. 1.12

Определим Да") = е” для любого целого п. Имеем: а" i = ап2 <=> <=> ani~n2 <=> щ -п2 : <=> е'ч =е'!2. Следовательно, / является взаимно однозначным отображением циклической группы (а) на циклическую группу Ст = (е). В то же время

Следовательно, отображение / является изоморфизмом циклической группы (а) порядка т на циклическую группу Ст = (е). Теорема доказана.

Следствие. Две циклические группы изоморфны тогда и только тогда, когда их порядки равны.

Доказательство. (=>) Поскольку изоморфизм является взаимно однозначным отображением одной группы на другую, то изоморфные группы имеют равные порядки.

(<=) Пусть | (а) | = |(Ь)|. Докажем, что (а) = (Ь). Предположим сначала, что обе циклические группы бесконечны: | (а) | = | (Ъ) = <». По теореме 1.16 группы (а) и (b) изоморфны одной и той же аддитивной группе целых чисел, а значит, изоморфны между собой. Аналогично если | (а) | = | (Ъ) = т, то каждая из групп (а) и <Ъ) изоморфна одной и той же циклической группе Ст = (е), а значит, снова группы (а) и ф) изоморфны. Следствие доказано.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >