Разложение циклических групп в прямое произведение своих подгрупп

Теорема 1.21. Бесконечная циклическая группа не представима в виде прямого произведения неединичных подгрупп.

Доказательство. Пусть дана бесконечная циклическая группа G = (а). Предположим, что G = АхВ, где А =п), В - (ак) при некоторых натуральных п * 1 и к Ф-1. Пусть т — наименьшее общее кратное чисел пик. Тогда е Ф ат е (ап) п (ак), что противоречит определению прямого произведения. Теорема доказана.

Обратимся к конечным циклическим группам.

Теорема 1.22. Если группа G = (g) и |g| а,гдерпростое, то G не представима в виде прямого произведения неединичных подгрупп.

Доказательство. Предположим противное: пусть G - Ах В, где А - (ап), В = (ак) при некоторых 0 < п < ра и 0 < к < ра. Представим п в виде п = р$пь где НОД(пх, р) = 1, 0 < (3 < а. Тогда ап =аРРп1 е(аРр), следовательно, Л = (а")с(аРр). С другой стороны, поскольку НОД(П], р") = 1, то существуют целые числа и и v, такие что пги + pav = 1. Отсюда а = a'!i«+p(ltv = a',iuaPotv = a"iu. Нотогдаапи -аРРп>“ =(ап>")рР = арР,откуда(ap|i)с(ап) = А.Таким образом, А = (аРр). Аналогично устанавливаем, что В = (аРу) при некотором натуральном у, 0 < у < а. Но тогда А и В являются неединичными подгруппами, из которых одна содержится в другой, что противоречит условию А п В = {е}. Теорема доказана.

Наконец, рассмотрим случай, когда порядок конечной циклической группы можно разложить на два взаимно простых числа.

Теорема 1.23. Если G-(g)u |g| = кт, где к > 1, т > 1, НОД(7с, m) = 1, то G - (а) х (Ь), где а - gm, b -gk и а | = к, | Ь | = т.

Доказательство. Обозначим а - grn, b - gk. Тогда |а| = к, | Ъ | -т. Легко доказать, что (а, Ъ) = (а) х (b), а так как порядок этой подгруппы равен кт, то G - (а) х ф). Теорема доказана.

Следствие. Если порядок элемента g группы G равен Pi1 Рг2 "'Ркк> где Р 1> Рг> •••> Рк — различные простые числа, то существуют элементы g1; g2, ..., gk е G, такие что

<S) = х (g2> х - х iSk) и I Si I = p? Для i - 1, 2,..., k.

Доказательство. Обозначим k = p“1,m = p“2 '"Pkk- Тогда НОД (7c, m) = 1 и по теореме 1.23 G = (a) x (b), где | a =k, b =m. Теперь повторяем рассуждения для циклической группы ф). Через конечное число шагов получим искомое разложение.

Теорема 1.24. Если группа G = (а) х ф), |а| = к, |Ь| = т и НОД(/с, т) = 1, то G = (ab).

Доказательство. Включение Gз (аЬ) очевидно. Покажем обратное включение. Поскольку НОД(&, m) = 1, то существуют целые и и v, такие что ku + mv = l. Отсюда а = aki,+mv = akuamv = amv = (ab)mv e e (ab). Аналогично b = bku+mv = bkubmv = bku = (ab)ku e (ab). Следовательно, (a) x (b) c (ab), откуда G = (ab). Теорема доказана.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >