Главная Математика, химия, физика
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
|
|
||||||
КОЛЬЦА И ПОЛЯОпределение и основные свойства колецОпределение и примеры колецПерейдем к рассмотрению множеств с двумя бинарными операциями. В качестве «образца для подражания» выберем множество целых чисел Z с операциями сложения и умножения и множество всех квадратных матриц М„(Z) порядка п с целочисленными элементами относительно сложения и умножения матриц. Введем общее понятие, частными случаями которого будут упомянутые примеры. Определение 2.1. Кольцом называется алгебраическая система (К, +, •} с основным множеством К и бинарными операциями сложения и умножения, которая удовлетворяет следующим условиям.
Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называется коммутативным. Обычно кольцо называют кратко, по имени основного множества К. Термин «кольцо» был введен Д. Гильбертом (1862—1943). Определение кольца можно сделать более кратким, если использовать понятие группы. Определение 2.2. Кольцом называется множество К с двумя бинарными операциями — сложением и умножением, если К относительно сложения образует коммутативную группу, которая называется аддитивной группой кольца, умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Определение 2.3. Единицей кольца К называется такой элемент ее К, что для любого элемента а е К ае = еа = а. Элемент а Ф 0 кольца К с единицей е называется обратимым, если существует элемент b е К, такой что ab = ba-e. Элемент b называется обратным к а и обозначается b = а-1. Элементы end кольца К называются делителями нуля, если с ^ 0, d ^ 0, но cd = 0. Легко видеть, что множество всех обратимых элементов кольца К с единицей относительно умножения образует группу, которая называется мультипликативной группой кольца и обозначается К*. Приведем примеры колец.
Упражнение 2.1. Среди приведенных примеров колец найдите: 1) кольца без единицы; 2) некоммутативные кольца; 3) кольца, содержащие делители нуля. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|