КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Определение и основные свойства колец

Определение и примеры колец

Перейдем к рассмотрению множеств с двумя бинарными операциями. В качестве «образца для подражания» выберем множество целых чисел Z с операциями сложения и умножения и множество всех квадратных матриц М„(Z) порядка п с целочисленными элементами относительно сложения и умножения матриц. Введем общее понятие, частными случаями которого будут упомянутые примеры.

Определение 2.1. Кольцом называется алгебраическая система (К, +, •} с основным множеством К и бинарными операциями сложения и умножения, которая удовлетворяет следующим условиям.

• 1. Свойства сложения.
• 1.1. Сложение коммутативно и ассоциативно: а + b = b + а, (а + Ъ) + с = а + (Ь + с) для любых а,Ь, с е К.
• 1.2. Существует элемент 0 е К, называемый нулем, такой что О + а = а для любого а е К.
• 1.3. Для любого а е К существует элемент -а е К, называемый противоположным для а, такой что а + (-а) = 0.
• 2. Умножение ассоциативно: (а ? Ь) ? с = а ? (Ъ ? с) для любых а,Ь, с е К.
• 3. Умножение дистрибутивно относительно сложения: а ? (Ь + с) = а- Ь + а- си(Ь + с) ? а = b ? а + с ? а для любых а, Ь, с е К.

Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называется коммутативным.

Обычно кольцо называют кратко, по имени основного множества К.

Термин «кольцо» был введен Д. Гильбертом (1862—1943).

Определение кольца можно сделать более кратким, если использовать понятие группы.

Определение 2.2. Кольцом называется множество К с двумя бинарными операциями — сложением и умножением, если К относительно сложения образует коммутативную группу, которая называется аддитивной группой кольца, умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения.

Определение 2.3. Единицей кольца К называется такой элемент ее К, что для любого элемента а е К ае = еа = а. Элемент а Ф 0 кольца К с единицей е называется обратимым, если существует элемент b е К, такой что ab = ba-e. Элемент b называется обратным к а и обозначается b = а^-1. Элементы end кольца К называются делителями нуля, если с ^ 0, d ^ 0, но cd = 0.

Легко видеть, что множество всех обратимых элементов кольца К с единицей относительно умножения образует группу, которая называется мультипликативной группой кольца и обозначается К*.

Приведем примеры колец.

• 1. Числовые кольца: кольцо целых чисел Z; кольцо четных целых чисел 2Z; mZ — кольцо целых чисел, кратных т; нулевое кольцо {0}, состоящее из одного нуля. Кольцо целых комплексных (гауссовых) чисел Z + Zi = {а + bi a, b е Z}.
• 2. Z_m — кольцо классов вычетов по модулю т. Его аддитивная и мультипликативная группы рассмотрены в подпараграфах 1.5.3 и 1.5.4.
• 3. Матричные кольца: М_п(К) — кольцо квадратных матриц порядка п над кольцом К (элементы матриц принадлежат кольцу К)-, Т_п(К') — кольцо треугольных квадратных матриц порядка п над кольцом К (множество всех матриц, у которых ниже главной диагонали стоят нули); D_n(K) — кольцо диагональных квадратных матриц порядка п над кольцом К (в таких матрицах вне главной диагонали стоят нули); С_п(К) — кольцо скалярных квадратных матриц порядка п над кольцом К (диагональная матрица называется скалярной, если у нее все диагональные элементы равны).
• 4. К[х] — кольцо многочленов над кольцом К (т.е. с коэффициентами из К); при К = Z получаем кольцо многочленов с целыми коэффициентами Z[x], а при K = Q получаем кольцо многочленов с рациональными коэффициентами Q[x]. К[х_ь ..., х„] — кольцо многочленов от переменных Xj, ..., х„ над кольцом К.
• 5. Любую аддитивную группу К можно превратить в кольцо, если задать на ней нулевое умножение: а ? Ъ = 0 для любых а,Ь е е К.

Упражнение 2.1. Среди приведенных примеров колец найдите: 1) кольца без единицы; 2) некоммутативные кольца; 3) кольца, содержащие делители нуля.